Страница 21 номер 2.8, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\frac{\sqrt{32}}{16^{x^2}} = 8^{3x}\); 2) \(9 \cdot 3^{\sin x} = \sqrt{27}\); 3) \(2^{x - 1} = 12^{2x} \cdot 3^{-2x} \cdot 2^{x + 1}\); 4) \(\sqrt[5]{7^{x + 1}} = \frac{49}{\sqrt{7}}\).
1) \(\sqrt{32} = \sqrt{2^{5}} = 2^{2{,}5}\), \(16^{x^{2}} = 2^{4x^{2}}\), \(8^{3x} = 2^{9x}\), поэтому уравнение принимает вид \(2^{2{,}5 - 4x^{2}} = 2^{9x}\).
Отсюда \(2{,}5 - 4x^{2} = 9x\); \[8x^{2} + 18x - 5 = 0.\]
\(D = 324 + 160 = 484 = 22^{2}\), поэтому \(x = \frac{-18 + 22}{16} = \frac{1}{4}\) или \(x = \frac{-18 - 22}{16} = -\frac{5}{2}\).
2) \(3^{2} \cdot 3^{\sin x} = 3^{\frac{3}{2}}\); \(3^{2 + \sin x} = 3^{1{,}5}\), отсюда \(2 + \sin x = 1{,}5\); \(\sin x = -0{,}5\).
Значит, \(x = (-1)^{n + 1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
3) Так как \(12^{2x} \cdot 3^{-2x} = \left(\frac{12}{3}\right)^{2x} = 4^{2x} = 2^{4x}\), правая часть равна \(2^{4x} \cdot 2^{x + 1} = 2^{5x + 1}\): \(2^{x - 1} = 2^{5x + 1}\), отсюда \(x - 1 = 5x + 1\); \(4x = -2\); \(x = -\frac{1}{2}\).
4) Левая часть равна \(7^{\frac{x + 1}{5}}\), правая — \(\frac{7^{2}}{7^{\frac{1}{2}}} = 7^{1{,}5}\): \(7^{\frac{x + 1}{5}} = 7^{1{,}5}\).
Отсюда \(\frac{x + 1}{5} = 1{,}5\); \(x + 1 = 7{,}5\); \(x = 6{,}5\).
Ответ: 1) \(-\frac{5}{2}\); \(\frac{1}{4}\); 2) \((-1)^{n + 1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); 3) \(-\frac{1}{2}\); 4) \(6{,}5\).
Решите уравнение: 1) \(\frac{\sqrt{32}}{16^{x^2}} = 8^{3x}\); 2) \(9 \cdot 3^{\sin x} = \sqrt{27}\); 3) \(2^{x - 1} = 12^{2x} \cdot 3^{-2x} \cdot 2^{x + 1}\); 4) \(\sqrt[5]{7^{x + 1}} = \frac{49}{\sqrt{7}}\).
1) Представим каждую из частей уравнения в виде степени с основанием 2: \(\sqrt{32} = \sqrt{2^{5}} = 2^{2{,}5}\), \(16^{x^{2}} = 2^{4x^{2}}\), \(8^{3x} = 2^{9x}\). Уравнение принимает вид \(2^{2{,}5 - 4x^{2}} = 2^{9x}\).
Отсюда \(2{,}5 - 4x^{2} = 9x\); \[8x^{2} + 18x - 5 = 0.\]
Дискриминант этого уравнения \(D = 324 + 160 = 484 = 22^{2}\), поэтому \(x = \frac{-18 + 22}{16} = \frac{1}{4}\) или \(x = \frac{-18 - 22}{16} = -\frac{5}{2}\).
2) Представим каждую из частей уравнения в виде степени с основанием 3: \(3^{2} \cdot 3^{\sin x} = 3^{\frac{3}{2}}\); \(3^{2 + \sin x} = 3^{1{,}5}\).
Отсюда \(2 + \sin x = 1{,}5\); \(\sin x = -0{,}5\).
Значит, \(x = (-1)^{n + 1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
3) Так как \(12^{2x} \cdot 3^{-2x} = \left(\frac{12}{3}\right)^{2x} = 4^{2x} = 2^{4x}\), правая часть уравнения равна \(2^{4x} \cdot 2^{x + 1} = 2^{5x + 1}\), и уравнение принимает вид \(2^{x - 1} = 2^{5x + 1}\).
Отсюда \(x - 1 = 5x + 1\); \(4x = -2\); \(x = -\frac{1}{2}\).
4) Представим каждую из частей уравнения в виде степени с основанием 7. Левая часть равна \(7^{\frac{x + 1}{5}}\), правая — \(\frac{7^{2}}{7^{\frac{1}{2}}} = 7^{1{,}5}\). Уравнение принимает вид \(7^{\frac{x + 1}{5}} = 7^{1{,}5}\).
Отсюда \(\frac{x + 1}{5} = 1{,}5\); \(x + 1 = 7{,}5\); \(x = 6{,}5\).
Ответ: 1) \(-\frac{5}{2}\); \(\frac{1}{4}\); 2) \((-1)^{n + 1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); 3) \(-\frac{1}{2}\); 4) \(6{,}5\).
