Страница 22 номер 2.20, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение \(\sqrt{1 + 3^{x} - 9^{x}} = \sqrt{4 - 3 \cdot 3^{x}}\).
Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 1 + 3^{x} - 9^{x} = 4 - 3 \cdot 3^{x},\\ 4 - 3 \cdot 3^{x} \geqslant 0. \end{cases}\]
Пусть \(3^{x} = t\); тогда \(1 + t - t^2 = 4 - 3t\), то есть \(t^2 - 4t + 3 = 0\), откуда \(t = 1\) или \(t = 3\).
При \(t = 1\): \(4 - 3 \cdot 1 = 1 > 0\) — условие выполняется, \(3^{x} = 3^{0}\); \(x = 0\).
При \(t = 3\): \(4 - 3 \cdot 3 = -5 < 0\) — условие не выполняется.
Ответ: 0.
Решите уравнение \(\sqrt{1 + 3^{x} - 9^{x}} = \sqrt{4 - 3 \cdot 3^{x}}\).
Равенство двух квадратных корней означает, что подкоренные выражения равны и при этом неотрицательны, поэтому данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 1 + 3^{x} - 9^{x} = 4 - 3 \cdot 3^{x},\\ 4 - 3 \cdot 3^{x} \geqslant 0. \end{cases}\]
Пусть \(3^{x} = t\). Тогда \(9^{x} = t^2\), и уравнение системы принимает вид \(1 + t - t^2 = 4 - 3t\), то есть \[t^2 - 4t + 3 = 0.\]
Отсюда \(t = 1\) или \(t = 3\). Проверим для каждого значения условие \(4 - 3t \geqslant 0\).
Если \(t = 1\), то \(4 - 3 \cdot 1 = 1 > 0\), и условие выполняется. Тогда \(3^{x} = 3^{0}\); \(x = 0\).
Если \(t = 3\), то \(4 - 3 \cdot 3 = -5 < 0\), и условие не выполняется.
Ответ: 0.
