Страница 20 номер 2.2, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) \(0{,}4^{x^{2} - x - 6} = 0{,}4^{0}\), отсюда \(x^{2} - x - 6 = 0\); \(x = -2\) или \(x = 3\).
2) Так как \(\frac{5}{3} = \left(\frac{3}{5}\right)^{-1}\), уравнение принимает вид \(\left(\frac{3}{5}\right)^{x} = \left(\frac{3}{5}\right)^{-1}\), отсюда \(x = -1\).
3) Так как \(2\frac{2}{49} = \frac{100}{49} = \left(\frac{10}{7}\right)^{2} = 0{,}7^{-2}\), уравнение принимает вид \(0{,}7^{x} = 0{,}7^{-2}\), отсюда \(x = -2\).
4) \(3^{-2x} = 3^{3}\), отсюда \(-2x = 3\); \(x = -1{,}5\).
5) Так как \(2^{x} > 0\) при любом \(x\), то \(\sqrt{2^{x}} = 2^{\frac{x}{2}}\), а \(8^{-\frac{2}{3}} = \left(2^{3}\right)^{-\frac{2}{3}} = 2^{-2}\), и уравнение принимает вид \(2^{\frac{x}{2}} = 2^{-2}\), отсюда \(\frac{x}{2} = -2\); \(x = -4\).
6) Так как \(4{,}5 = \frac{9}{2} = \left(\frac{2}{9}\right)^{-1}\), получаем \(\left(\frac{2}{9}\right)^{2x + 3} = \left(\frac{2}{9}\right)^{2 - x}\), отсюда \(2x + 3 = 2 - x\); \(3x = -1\); \(x = -\frac{1}{3}\).
7) \(10^{2x} = 10^{-2} \cdot 10^{\frac{1}{2}}\); \(10^{2x} = 10^{-1{,}5}\), отсюда \(2x = -1{,}5\); \(x = -0{,}75\).
8) Показатели степеней в левой части одинаковы, поэтому \(\left(\frac{2}{5} \cdot \frac{25}{8}\right)^{x} = \frac{125}{64}\); \(\left(\frac{5}{4}\right)^{x} = \left(\frac{5}{4}\right)^{3}\), отсюда \(x = 3\).
9) \((2 \cdot 3)^{x - 1} = 6^{-2} \cdot 6^{2x + 5}\); \(6^{x - 1} = 6^{2x + 3}\), отсюда \(x - 1 = 2x + 3\); \(x = -4\).
10) \(2^{5\left(\frac{3}{5}x - 2\right)} = 2^{2\left(6 - \frac{3}{2}x\right)}\); \(2^{3x - 10} = 2^{12 - 3x}\), отсюда \(3x - 10 = 12 - 3x\); \(6x = 22\); \(x = \frac{11}{3}\).
11) Основания степеней разные, поэтому приравнивать показатели нельзя. Так как \(7^{x^{2} - 9} \ne 0\) при любом \(x\), разделим на него обе части и получим равносильное уравнение \(\left(\frac{3}{7}\right)^{x^{2} - 9} = \left(\frac{3}{7}\right)^{0}\).
Отсюда \(x^{2} - 9 = 0\); \(x = -3\) или \(x = 3\).
12) \(2^{4(5 - 3x)} = 2^{-3(5x - 6)}\); \(2^{20 - 12x} = 2^{18 - 15x}\), отсюда \(20 - 12x = 18 - 15x\); \(3x = -2\); \(x = -\frac{2}{3}\).
Ответ: 1) \(-2\); 3; 2) \(-1\); 3) \(-2\); 4) \(-1{,}5\); 5) \(-4\); 6) \(-\frac{1}{3}\); 7) \(-0{,}75\); 8) 3; 9) \(-4\); 10) \(\frac{11}{3}\); 11) \(\pm 3\); 12) \(-\frac{2}{3}\).
1) Единицу, стоящую справа, запишем как степень с основанием \(0{,}4\): \(0{,}4^{x^{2} - x - 6} = 0{,}4^{0}\). Отсюда \(x^{2} - x - 6 = 0\); \(x = -2\) или \(x = 3\).
2) Так как \(\frac{5}{3} = \left(\frac{3}{5}\right)^{-1}\), данное уравнение принимает вид \(\left(\frac{3}{5}\right)^{x} = \left(\frac{3}{5}\right)^{-1}\). Отсюда \(x = -1\).
3) Так как \(2\frac{2}{49} = \frac{100}{49} = \left(\frac{10}{7}\right)^{2} = 0{,}7^{-2}\), данное уравнение принимает вид \(0{,}7^{x} = 0{,}7^{-2}\). Отсюда \(x = -2\).
4) Представим каждую из частей уравнения в виде степени с основанием 3: \(3^{-2x} = 3^{3}\). Отсюда \(-2x = 3\); \(x = -1{,}5\).
5) Так как \(2^{x} > 0\) при любом \(x\), то \(\sqrt{2^{x}} = 2^{\frac{x}{2}}\). Правую часть тоже запишем как степень с основанием 2: \(8^{-\frac{2}{3}} = \left(2^{3}\right)^{-\frac{2}{3}} = 2^{-2}\). Уравнение принимает вид \(2^{\frac{x}{2}} = 2^{-2}\). Отсюда \(\frac{x}{2} = -2\); \(x = -4\).
6) Так как \(4{,}5 = \frac{9}{2} = \left(\frac{2}{9}\right)^{-1}\), правую часть запишем как степень с основанием \(\frac{2}{9}\): \(\left(\frac{2}{9}\right)^{2x + 3} = \left(\frac{2}{9}\right)^{2 - x}\). Отсюда \(2x + 3 = 2 - x\); \(3x = -1\); \(x = -\frac{1}{3}\).
7) Представим каждую из частей уравнения в виде степени с основанием 10: \(10^{2x} = 10^{-2} \cdot 10^{\frac{1}{2}}\); \(10^{2x} = 10^{-1{,}5}\). Отсюда \(2x = -1{,}5\); \(x = -0{,}75\).
8) Показатели степеней в левой части одинаковы, поэтому произведение степеней равно степени произведения оснований: \(\left(\frac{2}{5} \cdot \frac{25}{8}\right)^{x} = \frac{125}{64}\); \(\left(\frac{5}{4}\right)^{x} = \left(\frac{5}{4}\right)^{3}\). Отсюда \(x = 3\).
9) Представим каждую из частей уравнения в виде степени с основанием 6: \((2 \cdot 3)^{x - 1} = 6^{-2} \cdot 6^{2x + 5}\); \(6^{x - 1} = 6^{2x + 3}\). Отсюда \(x - 1 = 2x + 3\); \(x = -4\).
10) Представим каждую из частей уравнения в виде степени с основанием 2: \(2^{5\left(\frac{3}{5}x - 2\right)} = 2^{2\left(6 - \frac{3}{2}x\right)}\); \(2^{3x - 10} = 2^{12 - 3x}\). Отсюда \(3x - 10 = 12 - 3x\); \(6x = 22\); \(x = \frac{11}{3}\).
11) Основания степеней разные, поэтому приравнивать показатели нельзя. Так как \(7^{x^{2} - 9} \ne 0\) при любом \(x\), разделим на него обе части уравнения и получим уравнение, равносильное данному: \(\left(\frac{3}{7}\right)^{x^{2} - 9} = \left(\frac{3}{7}\right)^{0}\).
Отсюда \(x^{2} - 9 = 0\); \(x = -3\) или \(x = 3\).
12) Представим каждую из частей уравнения в виде степени с основанием 2: \(2^{4(5 - 3x)} = 2^{-3(5x - 6)}\); \(2^{20 - 12x} = 2^{18 - 15x}\). Отсюда \(20 - 12x = 18 - 15x\); \(3x = -2\); \(x = -\frac{2}{3}\).
Ответ: 1) \(-2\); 3; 2) \(-1\); 3) \(-2\); 4) \(-1{,}5\); 5) \(-4\); 6) \(-\frac{1}{3}\); 7) \(-0{,}75\); 8) 3; 9) \(-4\); 10) \(\frac{11}{3}\); 11) \(\pm 3\); 12) \(-\frac{2}{3}\).
