Страница 21 номер 2.10, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) \[5^{x - 1}\left(5^{2} + 5 + 1\right) = 31;\ 31 \cdot 5^{x - 1} = 31;\ 5^{x - 1} = 5^{0}.\]
Отсюда \(x - 1 = 0\); \(x = 1\).
2) \[3^{x - 2}\left(3^{3} - 2 \cdot 3 - 4\right) = 17;\ 17 \cdot 3^{x - 2} = 17;\ 3^{x - 2} = 3^{0}.\]
Отсюда \(x - 2 = 0\); \(x = 2\).
3) \[2^{x - 2}\left(2^{4} - 2^{3} + 2 - 1\right) = 9;\ 9 \cdot 2^{x - 2} = 9;\ 2^{x - 2} = 2^{0}.\]
Отсюда \(x - 2 = 0\); \(x = 2\).
4) \[3^{2x - 1}\left(2 \cdot 3^{2} + 1 - 5 \cdot 3\right) = 36;\ 4 \cdot 3^{2x - 1} = 36;\ 3^{2x - 1} = 3^{2}.\]
Отсюда \(2x - 1 = 2\); \(x = \frac{3}{2}\).
5) Так как \(\left(\frac{1}{6}\right)^{3 - x} = 6^{x - 3}\) и \(36^{\frac{x - 1}{2}} = 6^{x - 1}\), получаем \[6^{x - 3}\left(6 - 1 + 6^{2}\right) = 246;\ 41 \cdot 6^{x - 3} = 246;\ 6^{x - 3} = 6.\]
Отсюда \(x - 3 = 1\); \(x = 4\).
6) \[2^{x - 3}\left(5 \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2 - 7\right) = 2^{3x^{2} - 3};\ 2^{x - 3} = 2^{3x^{2} - 3}.\]
Отсюда \(x - 3 = 3x^{2} - 3\); \(3x^{2} - x = 0\); \(x(3x - 1) = 0\); \(x = 0\) или \(x = \frac{1}{3}\).
Ответ: 1) 1; 2) 2; 3) 2; 4) \(\frac{3}{2}\); 5) 4; 6) 0; \(\frac{1}{3}\).
1) Вынесем в левой части степень с наименьшим показателем: \[5^{x - 1}\left(5^{2} + 5 + 1\right) = 31;\ 31 \cdot 5^{x - 1} = 31;\ 5^{x - 1} = 5^{0}.\]
Отсюда \(x - 1 = 0\); \(x = 1\).
2) Вынесем в левой части степень с наименьшим показателем: \[3^{x - 2}\left(3^{3} - 2 \cdot 3 - 4\right) = 17;\ 17 \cdot 3^{x - 2} = 17;\ 3^{x - 2} = 3^{0}.\]
Отсюда \(x - 2 = 0\); \(x = 2\).
3) Вынесем в левой части степень с наименьшим показателем: \[2^{x - 2}\left(2^{4} - 2^{3} + 2 - 1\right) = 9;\ 9 \cdot 2^{x - 2} = 9;\ 2^{x - 2} = 2^{0}.\]
Отсюда \(x - 2 = 0\); \(x = 2\).
4) Вынесем в левой части степень с наименьшим показателем: \[3^{2x - 1}\left(2 \cdot 3^{2} + 1 - 5 \cdot 3\right) = 36;\ 4 \cdot 3^{2x - 1} = 36;\ 3^{2x - 1} = 3^{2}.\]
Отсюда \(2x - 1 = 2\); \(x = \frac{3}{2}\).
5) Все степени запишем с основанием 6: \(\left(\frac{1}{6}\right)^{3 - x} = 6^{x - 3}\), \(36^{\frac{x - 1}{2}} = 6^{x - 1}\). Вынесем степень с наименьшим показателем: \[6^{x - 3}\left(6 - 1 + 6^{2}\right) = 246;\ 41 \cdot 6^{x - 3} = 246;\ 6^{x - 3} = 6.\]
Отсюда \(x - 3 = 1\); \(x = 4\).
6) В левой части вынесем степень с наименьшим показателем, а правую часть запишем с основанием 2: \[2^{x - 3}\left(5 \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2 - 7\right) = 2^{3x^{2} - 3};\ 2^{x - 3} = 2^{3x^{2} - 3}.\]
Отсюда \(x - 3 = 3x^{2} - 3\); \(3x^{2} - x = 0\); \(x(3x - 1) = 0\); \(x = 0\) или \(x = \frac{1}{3}\).
Ответ: 1) 1; 2) 2; 3) 2; 4) \(\frac{3}{2}\); 5) 4; 6) 0; \(\frac{1}{3}\).
