Страница 22 номер 2.16, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(8^{\frac{2}{x}} - 2^{\frac{2x + 3}{x}} - 32 = 0\); 2) \(5^{\sqrt{x - 2}} - 5^{1 - \sqrt{x - 2}} - 4 = 0\); 3) \(2^{\cos 2x} - 3 \cdot 2^{\cos^2 x} + 4 = 0\).
1) Уравнение имеет смысл при \(x \ne 0\).
Пусть \(2^{\frac{3}{x}} = t\); тогда \(8^{\frac{2}{x}} = t^{2}\), \(2^{\frac{2x + 3}{x}} = 4t\) и \(t^2 - 4t - 32 = 0\), откуда \(t = 8\) или \(t = -4\).
При \(t = 8\): \(2^{\frac{3}{x}} = 2^{3}\); \(\frac{3}{x} = 3\); \(x = 1\).
При \(t = -4\): \(2^{\frac{3}{x}} = -4\) — корней нет, так как степень с основанием 2 положительна.
2) Уравнение имеет смысл при \(x \geqslant 2\).
Пусть \(5^{\sqrt{x - 2}} = t\), где \(t > 0\); тогда \(5^{1 - \sqrt{x - 2}} = \frac{5}{t}\) и \(t - \frac{5}{t} - 4 = 0\); умножив на \(t\), получаем \(t^2 - 4t - 5 = 0\), откуда \(t = 5\) или \(t = -1\).
При \(t = 5\): \(5^{\sqrt{x - 2}} = 5^{1}\); \(\sqrt{x - 2} = 1\); \(x = 3\).
При \(t = -1\): \(5^{\sqrt{x - 2}} = -1\) — корней нет.
3) Так как \(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\), то \(2^{\cos 2x} = \frac{\left(2^{\cos^2 x}\right)^{2}}{2}\).
Пусть \(2^{\cos^2 x} = t\); тогда \(\frac{t^2}{2} - 3t + 4 = 0\), то есть \(t^2 - 6t + 8 = 0\), откуда \(t = 2\) или \(t = 4\).
При \(t = 2\): \(2^{\cos^2 x} = 2^{1}\); \(\cos^2 x = 1\); \(\sin^2 x = 0\); \(x = \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
При \(t = 4\): \(\cos^2 x = 2\), что невозможно: \(\cos^2 x \leqslant 1\) при любом \(x\).
Ответ: 1) 1; 2) 3; 3) \(\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
Решите уравнение: 1) \(8^{\frac{2}{x}} - 2^{\frac{2x + 3}{x}} - 32 = 0\); 2) \(5^{\sqrt{x - 2}} - 5^{1 - \sqrt{x - 2}} - 4 = 0\); 3) \(2^{\cos 2x} - 3 \cdot 2^{\cos^2 x} + 4 = 0\).
1) Уравнение имеет смысл при \(x \ne 0\).
Так как \(8^{\frac{2}{x}} = 2^{\frac{6}{x}} = \left(2^{\frac{3}{x}}\right)^{2}\) и \(2^{\frac{2x + 3}{x}} = 2^{2 + \frac{3}{x}} = 4 \cdot 2^{\frac{3}{x}}\), положим \(2^{\frac{3}{x}} = t\). Тогда уравнение принимает вид \[t^2 - 4t - 32 = 0.\]
Отсюда \(t = 8\) или \(t = -4\).
Если \(t = 8\), то \(2^{\frac{3}{x}} = 2^{3}\). Отсюда \(\frac{3}{x} = 3\); \(x = 1\).
Если \(t = -4\), то уравнение \(2^{\frac{3}{x}} = -4\) корней не имеет, так как степень с основанием 2 положительна.
2) Уравнение имеет смысл при \(x \geqslant 2\).
Пусть \(5^{\sqrt{x - 2}} = t\). Тогда \(5^{1 - \sqrt{x - 2}} = \frac{5}{t}\), и уравнение принимает вид \(t - \frac{5}{t} - 4 = 0\). Так как \(t > 0\), умножим обе части на \(t\): \[t^2 - 4t - 5 = 0.\]
Отсюда \(t = 5\) или \(t = -1\).
Если \(t = 5\), то \(5^{\sqrt{x - 2}} = 5^{1}\). Отсюда \(\sqrt{x - 2} = 1\); \(x - 2 = 1\); \(x = 3\).
Если \(t = -1\), то уравнение \(5^{\sqrt{x - 2}} = -1\) корней не имеет.
3) Так как \(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\), то \(2^{\cos 2x} = 2^{2\cos^2 x - 1} = \frac{\left(2^{\cos^2 x}\right)^{2}}{2}\).
Пусть \(2^{\cos^2 x} = t\). Тогда \(\frac{t^2}{2} - 3t + 4 = 0\), то есть \[t^2 - 6t + 8 = 0.\]
Отсюда \(t = 2\) или \(t = 4\).
Если \(t = 2\), то \(2^{\cos^2 x} = 2^{1}\). Отсюда \(\cos^2 x = 1\); \(\sin^2 x = 0\); \(x = \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
Если \(t = 4\), то \(2^{\cos^2 x} = 2^{2}\), откуда \(\cos^2 x = 2\). Это невозможно, так как \(\cos^2 x \leqslant 1\) при любом \(x\).
Ответ: 1) 1; 2) 3; 3) \(\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
