Страница 22 номер 2.19, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение \(\sqrt{4^{x} - 2^{x} - 3} = \sqrt{4 \cdot 2^{x} - 7}\).
Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 4^{x} - 2^{x} - 3 = 4 \cdot 2^{x} - 7,\\ 4 \cdot 2^{x} - 7 \geqslant 0. \end{cases}\]
Пусть \(2^{x} = t\); тогда \(t^2 - t - 3 = 4t - 7\), то есть \(t^2 - 5t + 4 = 0\), откуда \(t = 1\) или \(t = 4\).
При \(t = 1\): \(4 \cdot 1 - 7 = -3 < 0\) — условие не выполняется.
При \(t = 4\): \(4 \cdot 4 - 7 = 9 > 0\) — условие выполняется, \(2^{x} = 2^{2}\); \(x = 2\).
Ответ: 2.
Решите уравнение \(\sqrt{4^{x} - 2^{x} - 3} = \sqrt{4 \cdot 2^{x} - 7}\).
Равенство двух квадратных корней означает, что подкоренные выражения равны и при этом неотрицательны, поэтому данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 4^{x} - 2^{x} - 3 = 4 \cdot 2^{x} - 7,\\ 4 \cdot 2^{x} - 7 \geqslant 0. \end{cases}\]
Пусть \(2^{x} = t\). Тогда \(4^{x} = t^2\), и уравнение системы принимает вид \(t^2 - t - 3 = 4t - 7\), то есть \[t^2 - 5t + 4 = 0.\]
Отсюда \(t = 1\) или \(t = 4\). Проверим для каждого значения условие \(4t - 7 \geqslant 0\).
Если \(t = 1\), то \(4 \cdot 1 - 7 = -3 < 0\), и условие не выполняется.
Если \(t = 4\), то \(4 \cdot 4 - 7 = 9 > 0\), и условие выполняется. Тогда \(2^{x} = 2^{2}\); \(x = 2\).
Ответ: 2.
