Страница 20 номер 2.3, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(3^{x + 2} + 3^{x} = 30\); 2) \(4^{x + 1} + 4^{x - 2} = 260\); 3) \(2^{x + 4} - 2^{x} = 120\); 4) \(7^{x + 1} + 4 \cdot 7^{x} = 77\); 5) \(5^{x} + 7 \cdot 5^{x - 2} = 160\); 6) \(6^{x + 1} - 4 \cdot 6^{x - 1} = 192\).
1) \[3^{x}\left(3^{2} + 1\right) = 30;\ 10 \cdot 3^{x} = 30;\ 3^{x} = 3.\]
Отсюда \(x = 1\).
2) \[4^{x - 2}\left(4^{3} + 1\right) = 260;\ 65 \cdot 4^{x - 2} = 260;\ 4^{x - 2} = 4.\]
Отсюда \(x - 2 = 1\); \(x = 3\).
3) \[2^{x}\left(2^{4} - 1\right) = 120;\ 15 \cdot 2^{x} = 120;\ 2^{x} = 2^{3}.\]
Отсюда \(x = 3\).
4) \[7^{x}(7 + 4) = 77;\ 11 \cdot 7^{x} = 77;\ 7^{x} = 7.\]
Отсюда \(x = 1\).
5) \[5^{x - 2}\left(5^{2} + 7\right) = 160;\ 32 \cdot 5^{x - 2} = 160;\ 5^{x - 2} = 5.\]
Отсюда \(x - 2 = 1\); \(x = 3\).
6) \[6^{x - 1}\left(6^{2} - 4\right) = 192;\ 32 \cdot 6^{x - 1} = 192;\ 6^{x - 1} = 6.\]
Отсюда \(x - 1 = 1\); \(x = 2\).
Ответ: 1) 1; 2) 3; 3) 3; 4) 1; 5) 3; 6) 2.
Решите уравнение: 1) \(3^{x + 2} + 3^{x} = 30\); 2) \(4^{x + 1} + 4^{x - 2} = 260\); 3) \(2^{x + 4} - 2^{x} = 120\); 4) \(7^{x + 1} + 4 \cdot 7^{x} = 77\); 5) \(5^{x} + 7 \cdot 5^{x - 2} = 160\); 6) \(6^{x + 1} - 4 \cdot 6^{x - 1} = 192\).
1) Вынесем в левой части степень с наименьшим показателем: \[3^{x}\left(3^{2} + 1\right) = 30;\ 10 \cdot 3^{x} = 30;\ 3^{x} = 3.\]
Отсюда \(x = 1\).
2) Вынесем в левой части степень с наименьшим показателем: \[4^{x - 2}\left(4^{3} + 1\right) = 260;\ 65 \cdot 4^{x - 2} = 260;\ 4^{x - 2} = 4.\]
Отсюда \(x - 2 = 1\); \(x = 3\).
3) Вынесем в левой части степень с наименьшим показателем: \[2^{x}\left(2^{4} - 1\right) = 120;\ 15 \cdot 2^{x} = 120;\ 2^{x} = 2^{3}.\]
Отсюда \(x = 3\).
4) Вынесем в левой части степень с наименьшим показателем: \[7^{x}(7 + 4) = 77;\ 11 \cdot 7^{x} = 77;\ 7^{x} = 7.\]
Отсюда \(x = 1\).
5) Вынесем в левой части степень с наименьшим показателем: \[5^{x - 2}\left(5^{2} + 7\right) = 160;\ 32 \cdot 5^{x - 2} = 160;\ 5^{x - 2} = 5.\]
Отсюда \(x - 2 = 1\); \(x = 3\).
6) Вынесем в левой части степень с наименьшим показателем: \[6^{x - 1}\left(6^{2} - 4\right) = 192;\ 32 \cdot 6^{x - 1} = 192;\ 6^{x - 1} = 6.\]
Отсюда \(x - 1 = 1\); \(x = 2\).
Ответ: 1) 1; 2) 3; 3) 3; 4) 1; 5) 3; 6) 2.
