Страница 21 номер 2.9, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) \[2^{x - 2}\left(2^{2} + 2 + 1\right) = 56;\ 7 \cdot 2^{x - 2} = 56;\ 2^{x - 2} = 2^{3}.\]
Отсюда \(x - 2 = 3\); \(x = 5\).
2) \[5^{x - 1}\left(6 \cdot 5 - 5^{2} - 3\right) = 10;\ 2 \cdot 5^{x - 1} = 10;\ 5^{x - 1} = 5.\]
Отсюда \(x - 1 = 1\); \(x = 2\).
3) \[7^{x - 1}\left(2 \cdot 7 + 7^{3} - 3\right) = 354;\ 354 \cdot 7^{x - 1} = 354;\ 7^{x - 1} = 7^{0}.\]
Отсюда \(x - 1 = 0\); \(x = 1\).
4) Так как \(4^{x - 2} = 2^{2x - 4}\), получаем \[2^{2x - 4}\left(1 - 3 \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2^{4}\right) = 228;\ 57 \cdot 2^{2x - 4} = 228;\ 2^{2x - 4} = 2^{2}.\]
Отсюда \(2x - 4 = 2\); \(x = 3\).
5) Так как \(9^{1{,}5x - 1} = 3^{3x - 2}\) и \(27^{x - 1} = 3^{3x - 3}\), получаем \[3^{3x - 3}(4 \cdot 3 - 1) = 33;\ 11 \cdot 3^{3x - 3} = 33;\ 3^{3x - 3} = 3.\]
Отсюда \(3x - 3 = 1\); \(x = \frac{4}{3}\).
6) Так как \(0{,}5^{5 - 2x} = 2^{2x - 5}\) и \(0{,}25^{3 - x} = 2^{2x - 6}\), получаем \[2^{2x - 6}(2 + 3) = 5;\ 5 \cdot 2^{2x - 6} = 5;\ 2^{2x - 6} = 2^{0}.\]
Отсюда \(2x - 6 = 0\); \(x = 3\).
7) Так как \(4^{x} = 2^{2x}\) и \(\left(\frac{1}{16}\right)^{1 - 0{,}5x} = 2^{-4(1 - 0{,}5x)} = 2^{2x - 4}\), получаем \[2^{2x - 4}\left(2^{5} + 2^{4} - 1\right) = 47;\ 47 \cdot 2^{2x - 4} = 47;\ 2^{2x - 4} = 2^{0}.\]
Отсюда \(2x - 4 = 0\); \(x = 2\).
8) \[3^{x - 2}\left(4 \cdot 3^{2} - 5 \cdot 3 - 6\right) = 15 \cdot 3^{2x^{2} - 2};\ 15 \cdot 3^{x - 2} = 15 \cdot 3^{2x^{2} - 2}.\]
Разделим обе части на 15: \(3^{x - 2} = 3^{2x^{2} - 2}\), отсюда \(x - 2 = 2x^{2} - 2\); \(2x^{2} - x = 0\); \(x(2x - 1) = 0\); \(x = 0\) или \(x = \frac{1}{2}\).
Ответ: 1) 5; 2) 2; 3) 1; 4) 3; 5) \(\frac{4}{3}\); 6) 3; 7) 2; 8) 0; \(\frac{1}{2}\).
1) Вынесем в левой части степень с наименьшим показателем: \[2^{x - 2}\left(2^{2} + 2 + 1\right) = 56;\ 7 \cdot 2^{x - 2} = 56;\ 2^{x - 2} = 2^{3}.\]
Отсюда \(x - 2 = 3\); \(x = 5\).
2) Вынесем в левой части степень с наименьшим показателем: \[5^{x - 1}\left(6 \cdot 5 - 5^{2} - 3\right) = 10;\ 2 \cdot 5^{x - 1} = 10;\ 5^{x - 1} = 5.\]
Отсюда \(x - 1 = 1\); \(x = 2\).
3) Вынесем в левой части степень с наименьшим показателем: \[7^{x - 1}\left(2 \cdot 7 + 7^{3} - 3\right) = 354;\ 354 \cdot 7^{x - 1} = 354;\ 7^{x - 1} = 7^{0}.\]
Отсюда \(x - 1 = 0\); \(x = 1\).
4) Все степени левой части запишем с основанием 2: \(4^{x - 2} = 2^{2x - 4}\). Вынесем степень с наименьшим показателем: \[2^{2x - 4}\left(1 - 3 \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2^{4}\right) = 228;\ 57 \cdot 2^{2x - 4} = 228;\ 2^{2x - 4} = 2^{2}.\]
Отсюда \(2x - 4 = 2\); \(x = 3\).
5) Обе степени запишем с основанием 3: \(9^{1{,}5x - 1} = 3^{3x - 2}\), \(27^{x - 1} = 3^{3x - 3}\). Вынесем степень с наименьшим показателем: \[3^{3x - 3}(4 \cdot 3 - 1) = 33;\ 11 \cdot 3^{3x - 3} = 33;\ 3^{3x - 3} = 3.\]
Отсюда \(3x - 3 = 1\); \(x = \frac{4}{3}\).
6) Обе степени запишем с основанием 2: \(0{,}5^{5 - 2x} = 2^{2x - 5}\), \(0{,}25^{3 - x} = 2^{2x - 6}\). Вынесем степень с наименьшим показателем: \[2^{2x - 6}(2 + 3) = 5;\ 5 \cdot 2^{2x - 6} = 5;\ 2^{2x - 6} = 2^{0}.\]
Отсюда \(2x - 6 = 0\); \(x = 3\).
7) Все степени запишем с основанием 2: \(4^{x} = 2^{2x}\), \(\left(\frac{1}{16}\right)^{1 - 0{,}5x} = 2^{-4(1 - 0{,}5x)} = 2^{2x - 4}\). Вынесем степень с наименьшим показателем: \[2^{2x - 4}\left(2^{5} + 2^{4} - 1\right) = 47;\ 47 \cdot 2^{2x - 4} = 47;\ 2^{2x - 4} = 2^{0}.\]
Отсюда \(2x - 4 = 0\); \(x = 2\).
8) В левой части вынесем степень с наименьшим показателем, а правую часть запишем с основанием 3: \[3^{x - 2}\left(4 \cdot 3^{2} - 5 \cdot 3 - 6\right) = 15 \cdot 3^{2x^{2} - 2};\ 15 \cdot 3^{x - 2} = 15 \cdot 3^{2x^{2} - 2}.\]
Разделим обе части на 15: \(3^{x - 2} = 3^{2x^{2} - 2}\).
Отсюда \(x - 2 = 2x^{2} - 2\); \(2x^{2} - x = 0\); \(x(2x - 1) = 0\); \(x = 0\) или \(x = \frac{1}{2}\).
Ответ: 1) 5; 2) 2; 3) 1; 4) 3; 5) \(\frac{4}{3}\); 6) 3; 7) 2; 8) 0; \(\frac{1}{2}\).
