Страница 22 номер 2.15, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) Уравнение имеет смысл при \(x \ne 0\).
Пусть \(3^{\frac{3}{x}} = t\); тогда \(27^{\frac{2}{x}} = t^{2}\), \(3^{\frac{x + 3}{x}} = 3t\) и \(t^2 - 6t - 27 = 0\), откуда \(t = 9\) или \(t = -3\).
При \(t = 9\): \(3^{\frac{3}{x}} = 3^{2}\); \(\frac{3}{x} = 2\); \(x = \frac{3}{2}\).
При \(t = -3\): \(3^{\frac{3}{x}} = -3\) — корней нет, так как степень с основанием 3 положительна.
2) Пусть \(7^{\frac{x}{3}} = t\); тогда \(\sqrt[3]{49^{x}} = t^{2}\), \(\sqrt[3]{7^{x - 3}} = \frac{t}{7}\) и \(t^2 - \frac{50}{7}t + 1 = 0\), то есть \(7t^2 - 50t + 7 = 0\), откуда \(t = 7\) или \(t = \frac{1}{7}\).
При \(t = 7\): \(7^{\frac{x}{3}} = 7^{1}\); \(\frac{x}{3} = 1\); \(x = 3\).
При \(t = \frac{1}{7}\): \(7^{\frac{x}{3}} = 7^{-1}\); \(\frac{x}{3} = -1\); \(x = -3\).
3) Уравнение имеет смысл при \(x \geqslant -1\).
Пусть \(2^{\sqrt{x + 1}} = t\), где \(t > 0\); тогда \(2^{2 - \sqrt{x + 1}} = \frac{4}{t}\) и \(t = \frac{12}{t} + 1\); умножив на \(t\), получаем \(t^2 - t - 12 = 0\), откуда \(t = 4\) или \(t = -3\).
При \(t = 4\): \(2^{\sqrt{x + 1}} = 2^{2}\); \(\sqrt{x + 1} = 2\); \(x = 3\).
При \(t = -3\): \(2^{\sqrt{x + 1}} = -3\) — корней нет.
4) Уравнение имеет смысл при \(x \geqslant 5\).
Пусть \(3^{\sqrt{x - 5}} = t\), где \(t > 0\); тогда \(3^{2 - \sqrt{x - 5}} = \frac{9}{t}\) и \(t + \frac{9}{t} = 6\); умножив на \(t\), получаем \(t^2 - 6t + 9 = 0\); \((t - 3)^2 = 0\); \(t = 3\).
Значит, \(3^{\sqrt{x - 5}} = 3^{1}\); \(\sqrt{x - 5} = 1\); \(x = 6\).
5) Так как \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\), то \(2^{\sin^2 x} = \frac{2}{2^{\cos^2 x}}\).
Пусть \(2^{\cos^2 x} = t\), где \(t > 0\); тогда \(5t - \frac{2}{t} = 3\); умножив на \(t\), получаем \(5t^2 - 3t - 2 = 0\), откуда \(t = 1\) или \(t = -\frac{2}{5}\).
При \(t = 1\): \(2^{\cos^2 x} = 2^{0}\); \(\cos^2 x = 0\); \(\cos x = 0\); \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
При \(t = -\frac{2}{5}\): \(2^{\cos^2 x} = -\frac{2}{5}\) — корней нет.
6) Так как \(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\), то \(4^{\cos 2x} = \frac{\left(4^{\cos^2 x}\right)^{2}}{4}\).
Пусть \(4^{\cos^2 x} = t\); тогда \(\frac{t^2}{4} + t = 3\), то есть \(t^2 + 4t - 12 = 0\), откуда \(t = 2\) или \(t = -6\).
При \(t = 2\): \(2^{2\cos^2 x} = 2^{1}\); \(\cos^2 x = \frac{1}{2}\); тогда \(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 0\), откуда \(2x = \frac{\pi}{2} + \pi n\); \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}\), \(n \in \mathbf{Z}\).
При \(t = -6\): \(4^{\cos^2 x} = -6\) — корней нет.
7) Уравнение имеет смысл при \(\cos x \ne 0\).
Так как \(\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \operatorname{tg}^2 x\), то \(2^{\frac{1}{\cos^2 x}} = 2 \cdot 2^{\operatorname{tg}^2 x}\), а \(4^{\operatorname{tg}^2 x} = \left(2^{\operatorname{tg}^2 x}\right)^{2}\).
Пусть \(2^{\operatorname{tg}^2 x} = t\); тогда \(t^2 + 2t - 80 = 0\), откуда \(t = 8\) или \(t = -10\).
При \(t = 8\): \(2^{\operatorname{tg}^2 x} = 2^{3}\); \(\operatorname{tg}^2 x = 3\); \(\operatorname{tg} x = \sqrt{3}\) или \(\operatorname{tg} x = -\sqrt{3}\); \(x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
При \(t = -10\): \(2^{\operatorname{tg}^2 x} = -10\) — корней нет.
Ответ: 1) \(\frac{3}{2}\); 2) \(-3\); 3; 3) 3; 4) 6; 5) \(\frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); 6) \(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}\), \(n \in \mathbf{Z}\); 7) \(\pm\frac{\pi}{3} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
1) Уравнение имеет смысл при \(x \ne 0\).
Так как \(27^{\frac{2}{x}} = 3^{\frac{6}{x}} = \left(3^{\frac{3}{x}}\right)^{2}\) и \(3^{\frac{x + 3}{x}} = 3^{1 + \frac{3}{x}} = 3 \cdot 3^{\frac{3}{x}}\), положим \(3^{\frac{3}{x}} = t\). Тогда уравнение принимает вид \[t^2 - 6t - 27 = 0.\]
Отсюда \(t = 9\) или \(t = -3\).
Если \(t = 9\), то \(3^{\frac{3}{x}} = 3^{2}\). Отсюда \(\frac{3}{x} = 2\); \(x = \frac{3}{2}\).
Если \(t = -3\), то уравнение \(3^{\frac{3}{x}} = -3\) корней не имеет, так как степень с основанием 3 положительна.
2) Так как \(\sqrt[3]{49^{x}} = 7^{\frac{2x}{3}} = \left(7^{\frac{x}{3}}\right)^{2}\) и \(\sqrt[3]{7^{x - 3}} = 7^{\frac{x}{3} - 1} = \frac{7^{\frac{x}{3}}}{7}\), положим \(7^{\frac{x}{3}} = t\). Тогда \(t^2 - \frac{50}{7}t + 1 = 0\), то есть \[7t^2 - 50t + 7 = 0.\]
Отсюда \(t = 7\) или \(t = \frac{1}{7}\).
Если \(t = 7\), то \(7^{\frac{x}{3}} = 7^{1}\). Отсюда \(\frac{x}{3} = 1\); \(x = 3\).
Если \(t = \frac{1}{7}\), то \(7^{\frac{x}{3}} = 7^{-1}\). Отсюда \(\frac{x}{3} = -1\); \(x = -3\).
3) Уравнение имеет смысл при \(x \geqslant -1\).
Пусть \(2^{\sqrt{x + 1}} = t\). Тогда \(2^{2 - \sqrt{x + 1}} = \frac{4}{t}\), и уравнение принимает вид \(t = \frac{12}{t} + 1\). Так как \(t > 0\), умножим обе части на \(t\): \[t^2 - t - 12 = 0.\]
Отсюда \(t = 4\) или \(t = -3\).
Если \(t = 4\), то \(2^{\sqrt{x + 1}} = 2^{2}\). Отсюда \(\sqrt{x + 1} = 2\); \(x + 1 = 4\); \(x = 3\).
Если \(t = -3\), то уравнение \(2^{\sqrt{x + 1}} = -3\) корней не имеет.
4) Уравнение имеет смысл при \(x \geqslant 5\).
Пусть \(3^{\sqrt{x - 5}} = t\). Тогда \(3^{2 - \sqrt{x - 5}} = \frac{9}{t}\), и уравнение принимает вид \(t + \frac{9}{t} = 6\). Так как \(t > 0\), умножим обе части на \(t\): \[t^2 - 6t + 9 = 0;\ (t - 3)^2 = 0.\]
Отсюда \(t = 3\), то есть \(3^{\sqrt{x - 5}} = 3^{1}\). Значит, \(\sqrt{x - 5} = 1\); \(x - 5 = 1\); \(x = 6\).
5) Так как \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\), то \(2^{\sin^2 x} = 2^{1 - \cos^2 x} = \frac{2}{2^{\cos^2 x}}\).
Пусть \(2^{\cos^2 x} = t\). Тогда \(5t - \frac{2}{t} = 3\). Так как \(t > 0\), умножим обе части на \(t\): \[5t^2 - 3t - 2 = 0.\]
Отсюда \(t = 1\) или \(t = -\frac{2}{5}\).
Если \(t = 1\), то \(2^{\cos^2 x} = 2^{0}\). Отсюда \(\cos^2 x = 0\); \(\cos x = 0\); \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
Если \(t = -\frac{2}{5}\), то уравнение \(2^{\cos^2 x} = -\frac{2}{5}\) корней не имеет.
6) Так как \(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\), то \(4^{\cos 2x} = 4^{2\cos^2 x - 1} = \frac{\left(4^{\cos^2 x}\right)^{2}}{4}\).
Пусть \(4^{\cos^2 x} = t\). Тогда \(\frac{t^2}{4} + t = 3\), то есть \[t^2 + 4t - 12 = 0.\]
Отсюда \(t = 2\) или \(t = -6\).
Если \(t = 2\), то \(4^{\cos^2 x} = 2\), то есть \(2^{2\cos^2 x} = 2^{1}\). Отсюда \(2\cos^2 x = 1\); \(\cos^2 x = \frac{1}{2}\). Тогда \(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 0\), откуда \(2x = \frac{\pi}{2} + \pi n\); \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}\), \(n \in \mathbf{Z}\).
Если \(t = -6\), то уравнение \(4^{\cos^2 x} = -6\) корней не имеет.
7) Уравнение имеет смысл при \(\cos x \ne 0\).
Так как \(\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \operatorname{tg}^2 x\), то \(2^{\frac{1}{\cos^2 x}} = 2 \cdot 2^{\operatorname{tg}^2 x}\), а \(4^{\operatorname{tg}^2 x} = \left(2^{\operatorname{tg}^2 x}\right)^{2}\).
Пусть \(2^{\operatorname{tg}^2 x} = t\). Тогда уравнение принимает вид \[t^2 + 2t - 80 = 0.\]
Отсюда \(t = 8\) или \(t = -10\).
Если \(t = 8\), то \(2^{\operatorname{tg}^2 x} = 2^{3}\). Отсюда \(\operatorname{tg}^2 x = 3\); \(\operatorname{tg} x = \sqrt{3}\) или \(\operatorname{tg} x = -\sqrt{3}\); \(x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
Если \(t = -10\), то уравнение \(2^{\operatorname{tg}^2 x} = -10\) корней не имеет.
Ответ: 1) \(\frac{3}{2}\); 2) \(-3\); 3; 3) 3; 4) 6; 5) \(\frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); 6) \(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}\), \(n \in \mathbf{Z}\); 7) \(\pm\frac{\pi}{3} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
