Страница 22 номер 2.13, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(2^{x} + 2^{x - 1} + 2^{x - 2} = 3^{x} - 3^{x - 1} + 3^{x - 2}\); 2) \(3^{x^2 + 2} - 5^{x^2 - 1} = 5^{x^2 + 1} + 3^{x^2 - 1}\); 3) \(7^{x} - 5^{x + 2} = 2 \cdot 7^{x - 1} - 118 \cdot 5^{x - 1}\).
1) Вынесем в каждой части степень с наименьшим показателем: \[2^{x - 2}\left(2^{2} + 2 + 1\right) = 3^{x - 2}\left(3^{2} - 3 + 1\right);\ 7 \cdot 2^{x - 2} = 7 \cdot 3^{x - 2}.\]
Разделим обе части на \(7 \cdot 3^{x - 2} \ne 0\): \(\left(\frac{2}{3}\right)^{x - 2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{0}\), откуда \(x - 2 = 0\); \(x = 2\).
2) \[\begin{aligned} &3^{x^2 + 2} - 3^{x^2 - 1} = 5^{x^2 + 1} + 5^{x^2 - 1}; \\ &3^{x^2 - 1}\left(3^{3} - 1\right) = 5^{x^2 - 1}\left(5^{2} + 1\right); \\ &26 \cdot 3^{x^2 - 1} = 26 \cdot 5^{x^2 - 1}. \end{aligned}\]
Разделим обе части на \(26 \cdot 5^{x^2 - 1}\): \(\left(\frac{3}{5}\right)^{x^2 - 1} = \left(\frac{3}{5}\right)^{0}\), откуда \(x^2 - 1 = 0\); \(x = -1\) или \(x = 1\).
3) \[\begin{aligned} &7^{x} - 2 \cdot 7^{x - 1} = 5^{x + 2} - 118 \cdot 5^{x - 1}; \\ &7^{x - 1}(7 - 2) = 5^{x - 1}\left(5^{3} - 118\right);\ 5 \cdot 7^{x - 1} = 7 \cdot 5^{x - 1}. \end{aligned}\]
Разделим обе части на \(5 \cdot 5^{x - 1}\): \(\left(\frac{7}{5}\right)^{x - 1} = \frac{7}{5}\), откуда \(x - 1 = 1\); \(x = 2\).
Ответ: 1) 2; 2) \(-1\); 1; 3) 2.
Решите уравнение: 1) \(2^{x} + 2^{x - 1} + 2^{x - 2} = 3^{x} - 3^{x - 1} + 3^{x - 2}\); 2) \(3^{x^2 + 2} - 5^{x^2 - 1} = 5^{x^2 + 1} + 3^{x^2 - 1}\); 3) \(7^{x} - 5^{x + 2} = 2 \cdot 7^{x - 1} - 118 \cdot 5^{x - 1}\).
1) Вынесем в левой части степень с наименьшим показателем \(2^{x - 2}\), а в правой — степень \(3^{x - 2}\): \[2^{x - 2}\left(2^{2} + 2 + 1\right) = 3^{x - 2}\left(3^{2} - 3 + 1\right);\ 7 \cdot 2^{x - 2} = 7 \cdot 3^{x - 2}.\]
Число \(7 \cdot 3^{x - 2}\) отлично от нуля при любом \(x\), поэтому разделим на него обе части: \(\left(\frac{2}{3}\right)^{x - 2} = 1\), то есть \(\left(\frac{2}{3}\right)^{x - 2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{0}\).
Отсюда \(x - 2 = 0\); \(x = 2\).
2) Перенесём слагаемые со степенями числа 3 в левую часть уравнения, а со степенями числа 5 — в правую: \[3^{x^2 + 2} - 3^{x^2 - 1} = 5^{x^2 + 1} + 5^{x^2 - 1}.\]
Вынесем в каждой части степень с наименьшим показателем: \[3^{x^2 - 1}\left(3^{3} - 1\right) = 5^{x^2 - 1}\left(5^{2} + 1\right);\ 26 \cdot 3^{x^2 - 1} = 26 \cdot 5^{x^2 - 1}.\]
Разделим обе части на \(26 \cdot 5^{x^2 - 1}\): \(\left(\frac{3}{5}\right)^{x^2 - 1} = \left(\frac{3}{5}\right)^{0}\).
Отсюда \(x^2 - 1 = 0\); \(x = -1\) или \(x = 1\).
3) Перенесём слагаемые со степенями числа 7 в левую часть уравнения, а со степенями числа 5 — в правую: \[7^{x} - 2 \cdot 7^{x - 1} = 5^{x + 2} - 118 \cdot 5^{x - 1}.\]
Вынесем в каждой части степень с наименьшим показателем: \[7^{x - 1}(7 - 2) = 5^{x - 1}\left(5^{3} - 118\right);\ 5 \cdot 7^{x - 1} = 7 \cdot 5^{x - 1}.\]
Разделим обе части на \(5 \cdot 5^{x - 1}\): \(\left(\frac{7}{5}\right)^{x - 1} = \frac{7}{5}\).
Отсюда \(x - 1 = 1\); \(x = 2\).
Ответ: 1) 2; 2) \(-1\); 1; 3) 2.
