Страница 21 номер 2.6, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(6^{2x} - 3 \cdot 6^{x} - 18 = 0\); 2) \(2 \cdot 4^{x} - 9 \cdot 2^{x} + 4 = 0\).
1) Так как \(6^{2x} = \left(6^{x}\right)^{2}\), положим \(6^{x} = t\): \[t^{2} - 3t - 18 = 0.\]
Отсюда \(t = 6\) или \(t = -3\).
При \(t = 6\) имеем \(6^{x} = 6\), откуда \(x = 1\).
При \(t = -3\) уравнение \(6^{x} = -3\) корней не имеет: \(6^{x} > 0\) при любом \(x\).
2) Так как \(4^{x} = \left(2^{x}\right)^{2}\), положим \(2^{x} = t\): \[2t^{2} - 9t + 4 = 0.\]
\(D = 81 - 32 = 49\), поэтому \(t = \frac{9 + 7}{4} = 4\) или \(t = \frac{9 - 7}{4} = \frac{1}{2}\).
При \(t = 4\) имеем \(2^{x} = 2^{2}\), откуда \(x = 2\).
При \(t = \frac{1}{2}\) имеем \(2^{x} = 2^{-1}\), откуда \(x = -1\).
Ответ: 1) 1; 2) \(-1\); 2.
Решите уравнение: 1) \(6^{2x} - 3 \cdot 6^{x} - 18 = 0\); 2) \(2 \cdot 4^{x} - 9 \cdot 2^{x} + 4 = 0\).
1) Так как \(6^{2x} = \left(6^{x}\right)^{2}\), данное уравнение удобно решать методом замены переменной.
Пусть \(6^{x} = t\). Тогда данное уравнение можно переписать так: \[t^{2} - 3t - 18 = 0.\]
Отсюда \(t = 6\) или \(t = -3\).
Если \(t = 6\), то \(6^{x} = 6\). Отсюда \(x = 1\).
Если \(t = -3\), то уравнение \(6^{x} = -3\) корней не имеет, так как \(6^{x} > 0\) при любом \(x\).
2) Так как \(4^{x} = \left(2^{x}\right)^{2}\), положим \(2^{x} = t\). Тогда данное уравнение принимает вид \[2t^{2} - 9t + 4 = 0.\]
Дискриминант этого уравнения \(D = 81 - 32 = 49\), поэтому \(t = \frac{9 + 7}{4} = 4\) или \(t = \frac{9 - 7}{4} = \frac{1}{2}\).
Если \(t = 4\), то \(2^{x} = 2^{2}\). Отсюда \(x = 2\).
Если \(t = \frac{1}{2}\), то \(2^{x} = 2^{-1}\). Отсюда \(x = -1\).
Ответ: 1) 1; 2) \(-1\); 2.
