Страница 21 номер 2.11, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) Так как \(2^{2x + 1} = 2 \cdot \left(2^{x}\right)^{2}\), положим \(2^{x} = t\): \[2t^{2} - 5t + 2 = 0.\]
\(D = 25 - 16 = 9\), поэтому \(t = \frac{5 + 3}{4} = 2\) или \(t = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}\).
При \(t = 2\) имеем \(2^{x} = 2\), откуда \(x = 1\).
При \(t = \frac{1}{2}\) имеем \(2^{x} = 2^{-1}\), откуда \(x = -1\).
2) Так как \(4^{x + 1} = 4 \cdot 4^{x}\) и \(4^{1 - x} = \frac{4}{4^{x}}\), положим \(4^{x} = t\), причём \(t > 0\). Умножим обе части уравнения \(4t + \frac{4}{t} = 10\) на \(t\): \[4t^{2} - 10t + 4 = 0;\ 2t^{2} - 5t + 2 = 0.\]
Отсюда \(t = 2\) или \(t = \frac{1}{2}\).
При \(t = 2\) имеем \(4^{x} = 2\), то есть \(2^{2x} = 2\), откуда \(2x = 1\);
\(x = \frac{1}{2}\).
При \(t = \frac{1}{2}\) имеем \(4^{x} = \frac{1}{2}\), то есть \(2^{2x} = 2^{-1}\), откуда \(2x = -1\);
\(x = -\frac{1}{2}\).
3) Так как \(5^{2x - 3} = \frac{\left(5^{x}\right)^{2}}{125}\) и \(5^{x - 2} = \frac{5^{x}}{25}\), положим \(5^{x} = t\): \(\frac{t^{2}}{125} - \frac{2t}{25} = 3\). Умножим обе части на 125: \[t^{2} - 10t - 375 = 0.\]
Отсюда \(t = 25\) или \(t = -15\).
При \(t = 25\) имеем \(5^{x} = 5^{2}\), откуда \(x = 2\).
При \(t = -15\) уравнение \(5^{x} = -15\) корней не имеет: \(5^{x} > 0\) при любом \(x\).
4) Так как \(9^{x} = \left(3^{x}\right)^{2}\) и \(6 \cdot 3^{x - 1} = 2 \cdot 3^{x}\), положим \(3^{x} = t\): \[t^{2} - 2t - 3 = 0.\]
Отсюда \(t = 3\) или \(t = -1\).
При \(t = 3\) имеем \(3^{x} = 3\), откуда \(x = 1\).
При \(t = -1\) уравнение \(3^{x} = -1\) корней не имеет: \(3^{x} > 0\) при любом \(x\).
5) Так как \(3^{x + 1} = 3 \cdot 3^{x}\) и \(3^{2 - x} = \frac{9}{3^{x}}\), положим \(3^{x} = t\), причём \(t > 0\). Умножим обе части уравнения \(3t + \frac{9}{t} = 28\) на \(t\): \[3t^{2} - 28t + 9 = 0.\]
\(D = 784 - 108 = 676 = 26^{2}\), поэтому \(t = \frac{28 + 26}{6} = 9\) или \(t = \frac{28 - 26}{6} = \frac{1}{3}\).
При \(t = 9\) имеем \(3^{x} = 3^{2}\), откуда \(x = 2\).
При \(t = \frac{1}{3}\) имеем \(3^{x} = 3^{-1}\), откуда \(x = -1\).
6) Уравнение имеет смысл при \(2^{x} \ne 1\) и \(2^{x} \ne -1\); второе условие выполняется при любом \(x\), так как \(2^{x} > 0\), а первое означает, что \(x \ne 0\).
Пусть \(2^{x} = t\), где \(t \ne 1\). Умножим обе части уравнения \(\frac{9}{t - 1} - \frac{21}{t + 1} = 2\) на \((t - 1)(t + 1)\): \(9(t + 1) - 21(t - 1) = 2\left(t^{2} - 1\right)\);
\(-12t + 30 = 2t^{2} - 2\); \[t^{2} + 6t - 16 = 0.\]
Отсюда \(t = 2\) или \(t = -8\).
При \(t = 2\) имеем \(2^{x} = 2\), откуда \(x = 1\); при этом \(2^{1} = 2 \ne 1\), то есть условие выполнено.
При \(t = -8\) уравнение \(2^{x} = -8\) корней не имеет: \(2^{x} > 0\) при любом \(x\).
Ответ: 1) \(-1\); 1; 2) \(-\frac{1}{2}\); \(\frac{1}{2}\); 3) 2; 4) 1; 5) \(-1\); 2; 6) 1.
1) Так как \(2^{2x + 1} = 2 \cdot \left(2^{x}\right)^{2}\), данное уравнение удобно решать методом замены переменной.
Пусть \(2^{x} = t\). Тогда данное уравнение можно переписать так: \[2t^{2} - 5t + 2 = 0.\]
Дискриминант этого уравнения \(D = 25 - 16 = 9\), поэтому \(t = \frac{5 + 3}{4} = 2\) или \(t = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}\).
Если \(t = 2\), то \(2^{x} = 2\). Отсюда \(x = 1\).
Если \(t = \frac{1}{2}\), то \(2^{x} = 2^{-1}\). Отсюда \(x = -1\).
2) Так как \(4^{x + 1} = 4 \cdot 4^{x}\) и \(4^{1 - x} = \frac{4}{4^{x}}\), положим \(4^{x} = t\). Поскольку \(4^{x} > 0\) при любом \(x\), обе части уравнения \(4t + \frac{4}{t} = 10\) можно умножить на \(t\): \[4t^{2} - 10t + 4 = 0;\ 2t^{2} - 5t + 2 = 0.\]
Отсюда \(t = 2\) или \(t = \frac{1}{2}\).
Если \(t = 2\), то \(4^{x} = 2\), то есть \(2^{2x} = 2\). Отсюда \(2x = 1\);
\(x = \frac{1}{2}\).
Если \(t = \frac{1}{2}\), то \(4^{x} = \frac{1}{2}\), то есть \(2^{2x} = 2^{-1}\). Отсюда \(2x = -1\);
\(x = -\frac{1}{2}\).
3) Так как \(5^{2x - 3} = \frac{\left(5^{x}\right)^{2}}{125}\) и \(5^{x - 2} = \frac{5^{x}}{25}\), положим \(5^{x} = t\). Уравнение принимает вид \(\frac{t^{2}}{125} - \frac{2t}{25} = 3\). Умножим обе части на 125: \[t^{2} - 10t - 375 = 0.\]
Отсюда \(t = 25\) или \(t = -15\).
Если \(t = 25\), то \(5^{x} = 5^{2}\). Отсюда \(x = 2\).
Если \(t = -15\), то уравнение \(5^{x} = -15\) корней не имеет, так как \(5^{x} > 0\) при любом \(x\).
4) Так как \(9^{x} = \left(3^{x}\right)^{2}\) и \(6 \cdot 3^{x - 1} = 2 \cdot 3^{x}\), положим \(3^{x} = t\). Тогда данное уравнение принимает вид \[t^{2} - 2t - 3 = 0.\]
Отсюда \(t = 3\) или \(t = -1\).
Если \(t = 3\), то \(3^{x} = 3\). Отсюда \(x = 1\).
Если \(t = -1\), то уравнение \(3^{x} = -1\) корней не имеет, так как \(3^{x} > 0\) при любом \(x\).
5) Так как \(3^{x + 1} = 3 \cdot 3^{x}\) и \(3^{2 - x} = \frac{9}{3^{x}}\), положим \(3^{x} = t\). Поскольку \(3^{x} > 0\) при любом \(x\), обе части уравнения \(3t + \frac{9}{t} = 28\) можно умножить на \(t\): \[3t^{2} - 28t + 9 = 0.\]
Дискриминант этого уравнения \(D = 784 - 108 = 676 = 26^{2}\), поэтому \(t = \frac{28 + 26}{6} = 9\) или \(t = \frac{28 - 26}{6} = \frac{1}{3}\).
Если \(t = 9\), то \(3^{x} = 3^{2}\). Отсюда \(x = 2\).
Если \(t = \frac{1}{3}\), то \(3^{x} = 3^{-1}\). Отсюда \(x = -1\).
6) Данное уравнение имеет смысл при \(2^{x} \ne 1\) и \(2^{x} \ne -1\); второе условие выполняется при любом \(x\), так как \(2^{x} > 0\). Условие \(2^{x} \ne 1\) означает, что \(x \ne 0\).
Пусть \(2^{x} = t\), где \(t \ne 1\). Умножим обе части уравнения \(\frac{9}{t - 1} - \frac{21}{t + 1} = 2\) на \((t - 1)(t + 1)\): \(9(t + 1) - 21(t - 1) = 2\left(t^{2} - 1\right)\);
\(-12t + 30 = 2t^{2} - 2\); \[t^{2} + 6t - 16 = 0.\]
Отсюда \(t = 2\) или \(t = -8\).
Если \(t = 2\), то \(2^{x} = 2\). Отсюда \(x = 1\); при этом \(2^{1} = 2 \ne 1\), то есть условие выполнено.
Если \(t = -8\), то уравнение \(2^{x} = -8\) корней не имеет, так как \(2^{x} > 0\) при любом \(x\).
Ответ: 1) \(-1\); 1; 2) \(-\frac{1}{2}\); \(\frac{1}{2}\); 3) 2; 4) 1; 5) \(-1\); 2; 6) 1.
