Страница 21 номер 2.7, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) Так как \(3^{3x - 1} > 0\) при любом \(x\), то \(\sqrt{3^{3x - 1}} = 3^{\frac{3x - 1}{2}}\), поэтому левая часть равна \(3^{-2} \cdot 3^{\frac{3x - 1}{2}} = 3^{\frac{3x - 1}{2} - 2}\), а правая — \(\left(3^{4}\right)^{-\frac{3}{4}} = 3^{-3}\): \(3^{\frac{3x - 1}{2} - 2} = 3^{-3}\).
Отсюда \(\frac{3x - 1}{2} - 2 = -3\); \(\frac{3x - 1}{2} = -1\); \(3x - 1 = -2\); \(x = -\frac{1}{3}\).
2) \(3 \cdot (4 \cdot 3)^{x} = \frac{1}{4} \cdot 12^{3x - 1}\); \(3 \cdot 12^{x} = \frac{12^{3x - 1}}{4}\).
Умножим обе части на 4: \(12 \cdot 12^{x} = 12^{3x - 1}\), то есть \(12^{x + 1} = 12^{3x - 1}\), отсюда \(x + 1 = 3x - 1\); \(x = 1\).
3) \(2^{2} \cdot 2^{\cos x} = 2^{\frac{3}{2}}\); \(2^{2 + \cos x} = 2^{1{,}5}\), отсюда \(2 + \cos x = 1{,}5\); \(\cos x = -0{,}5\).
Значит, \(x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
4) Левая часть равна \(2^{-2} \cdot 2^{x^{2}} = 2^{x^{2} - 2}\); под знаком корня стоит \(2^{-2} \cdot 2^{4x} = 2^{4x - 2}\), поэтому правая часть равна \(2^{\frac{4x - 2}{3}}\): \(2^{x^{2} - 2} = 2^{\frac{4x - 2}{3}}\).
Отсюда \(x^{2} - 2 = \frac{4x - 2}{3}\); \(3x^{2} - 6 = 4x - 2\); \[3x^{2} - 4x - 4 = 0.\]
\(D = 16 + 48 = 64\), поэтому \(x = \frac{4 + 8}{6} = 2\) или \(x = \frac{4 - 8}{6} = -\frac{2}{3}\).
5) Так как \(10^{x} \cdot 2^{-x} = \left(\frac{10}{2}\right)^{x} = 5^{x}\), правая часть равна \(5^{x} \cdot 5^{x + 1} = 5^{2x + 1}\): \(5^{x - 1} = 5^{2x + 1}\), отсюда \(x - 1 = 2x + 1\); \(x = -2\).
6) Левая часть равна \(\left(3^{2(2x + 1)}\right)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{4x + 2}{3}}\), правая — \(\frac{3}{3^{\frac{1}{5}}} = 3^{1 - \frac{1}{5}} = 3^{\frac{4}{5}}\): \(3^{\frac{4x + 2}{3}} = 3^{\frac{4}{5}}\).
Отсюда \(\frac{4x + 2}{3} = \frac{4}{5}\); \(5(4x + 2) = 12\); \(20x = 2\); \(x = \frac{1}{10}\).
Ответ: 1) \(-\frac{1}{3}\); 2) 1; 3) \(\pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); 4) \(-\frac{2}{3}\); 2; 5) \(-2\); 6) \(\frac{1}{10}\).
1) Представим каждую из частей уравнения в виде степени с основанием 3. Так как \(3^{3x - 1} > 0\) при любом \(x\), то \(\sqrt{3^{3x - 1}} = 3^{\frac{3x - 1}{2}}\), и левая часть равна \(3^{-2} \cdot 3^{\frac{3x - 1}{2}} = 3^{\frac{3x - 1}{2} - 2}\), а правая — \(\left(3^{4}\right)^{-\frac{3}{4}} = 3^{-3}\). Уравнение принимает вид \(3^{\frac{3x - 1}{2} - 2} = 3^{-3}\).
Отсюда \(\frac{3x - 1}{2} - 2 = -3\); \(\frac{3x - 1}{2} = -1\); \(3x - 1 = -2\); \(x = -\frac{1}{3}\).
2) Представим каждую из частей уравнения в виде степени с основанием 12. Имеем: \(3 \cdot (4 \cdot 3)^{x} = \frac{1}{4} \cdot 12^{3x - 1}\); \(3 \cdot 12^{x} = \frac{12^{3x - 1}}{4}\).
Умножим обе части на 4: \(12 \cdot 12^{x} = 12^{3x - 1}\), то есть \(12^{x + 1} = 12^{3x - 1}\).
Отсюда \(x + 1 = 3x - 1\); \(x = 1\).
3) Представим каждую из частей уравнения в виде степени с основанием 2: \(2^{2} \cdot 2^{\cos x} = 2^{\frac{3}{2}}\); \(2^{2 + \cos x} = 2^{1{,}5}\).
Отсюда \(2 + \cos x = 1{,}5\); \(\cos x = -0{,}5\).
Значит, \(x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
4) Представим каждую из частей уравнения в виде степени с основанием 2. Левая часть равна \(2^{-2} \cdot 2^{x^{2}} = 2^{x^{2} - 2}\). Под знаком корня стоит \(2^{-2} \cdot 2^{4x} = 2^{4x - 2}\), поэтому правая часть равна \(2^{\frac{4x - 2}{3}}\). Уравнение принимает вид \(2^{x^{2} - 2} = 2^{\frac{4x - 2}{3}}\).
Отсюда \(x^{2} - 2 = \frac{4x - 2}{3}\); \(3x^{2} - 6 = 4x - 2\); \[3x^{2} - 4x - 4 = 0.\]
Дискриминант этого уравнения \(D = 16 + 48 = 64\), поэтому \(x = \frac{4 + 8}{6} = 2\) или \(x = \frac{4 - 8}{6} = -\frac{2}{3}\).
5) Так как \(10^{x} \cdot 2^{-x} = \left(\frac{10}{2}\right)^{x} = 5^{x}\), правая часть уравнения равна \(5^{x} \cdot 5^{x + 1} = 5^{2x + 1}\), и уравнение принимает вид \(5^{x - 1} = 5^{2x + 1}\).
Отсюда \(x - 1 = 2x + 1\); \(x = -2\).
6) Представим каждую из частей уравнения в виде степени с основанием 3. Левая часть равна \(\left(3^{2(2x + 1)}\right)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{4x + 2}{3}}\), правая — \(\frac{3}{3^{\frac{1}{5}}} = 3^{1 - \frac{1}{5}} = 3^{\frac{4}{5}}\). Уравнение принимает вид \(3^{\frac{4x + 2}{3}} = 3^{\frac{4}{5}}\).
Отсюда \(\frac{4x + 2}{3} = \frac{4}{5}\); \(5(4x + 2) = 12\); \(20x = 2\); \(x = \frac{1}{10}\).
Ответ: 1) \(-\frac{1}{3}\); 2) 1; 3) \(\pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); 4) \(-\frac{2}{3}\); 2; 5) \(-2\); 6) \(\frac{1}{10}\).
