Страница 20 номер 2.1, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) \(4^{x} = 4^{3}\), отсюда \(x = 3\).
2) \(3^{x} = 3^{-4}\), отсюда \(x = -4\).
3) \(0{,}6^{2x - 3} = 0{,}6^{0}\), отсюда \(2x - 3 = 0\); \(x = 1{,}5\).
4) \(10^{-x} = 10^{-3}\), отсюда \(-x = -3\); \(x = 3\).
5) Основания степеней равны, поэтому \(5 - x = 3x - 7\); \(4x = 12\); \(x = 3\).
6) \(2^{3x} = 2^{4}\), отсюда \(3x = 4\); \(x = \frac{4}{3}\).
7) Так как \(0{,}16 = \frac{4}{25} = \left(\frac{2}{5}\right)^{2}\) и \(\frac{5}{2} = \left(\frac{2}{5}\right)^{-1}\), уравнение принимает вид \(\left(\frac{2}{5}\right)^{2x} = \left(\frac{2}{5}\right)^{-1}\), отсюда \(2x = -1\); \(x = -0{,}5\).
8) Так как \(5^{x} > 0\) при любом \(x\), то \(\sqrt{5^{x}} = 5^{\frac{x}{2}}\), и уравнение принимает вид \(5^{\frac{x}{2}} = 5^{2}\), отсюда \(\frac{x}{2} = 2\); \(x = 4\).
9) Так как \(0{,}25 = 2^{-2}\), получаем \(2^{-2\left(x^{2} - 4\right)} = 2^{x^{2} + 1}\), отсюда \(-2x^{2} + 8 = x^{2} + 1\); \(3x^{2} = 7\); \(x^{2} = \frac{7}{3}\).
Значит, \(x = -\frac{\sqrt{21}}{3}\) или \(x = \frac{\sqrt{21}}{3}\).
10) Показатели степеней в левой части одинаковы, поэтому \(\left(\frac{4}{9} \cdot \frac{27}{8}\right)^{x - 1} = \frac{2}{3}\); \(\left(\frac{3}{2}\right)^{x - 1} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-1}\), отсюда \(x - 1 = -1\); \(x = 0\).
11) \((2 \cdot 5)^{x} = 10^{-1} \cdot 10^{5x - 5}\); \(10^{x} = 10^{5x - 6}\), отсюда \(x = 5x - 6\); \(4x = 6\); \(x = 1{,}5\).
12) Так как \(\frac{7}{4} = \left(\frac{4}{7}\right)^{-1}\), получаем \(\left(\frac{4}{7}\right)^{3x - 7} = \left(\frac{4}{7}\right)^{3 - 7x}\), отсюда \(3x - 7 = 3 - 7x\); \(10x = 10\); \(x = 1\).
13) \(6^{2x} = \left(6^{-3}\right)^{2 - x}\); \(6^{2x} = 6^{3x - 6}\), отсюда \(2x = 3x - 6\); \(x = 6\).
14) Основания степеней разные, поэтому приравнивать показатели нельзя. Так как \(6^{x^{2} - 2x} \ne 0\) при любом \(x\), разделим на него обе части и получим равносильное уравнение \(\left(\frac{5}{6}\right)^{x^{2} - 2x} = \left(\frac{5}{6}\right)^{0}\).
Отсюда \(x^{2} - 2x = 0\); \(x(x - 2) = 0\); \(x = 0\) или \(x = 2\).
15) Так как \(6^{x} \cdot 2^{-x} = \left(\frac{6}{2}\right)^{x} = 3^{x}\), правая часть равна \(3^{x} \cdot 3^{x + 1} = 3^{2x + 1}\), и уравнение принимает вид \(3^{x - 1} = 3^{2x + 1}\), отсюда \(x - 1 = 2x + 1\); \(x = -2\).
Ответ: 1) 3; 2) \(-4\); 3) \(1{,}5\); 4) 3; 5) 3; 6) \(\frac{4}{3}\); 7) \(-0{,}5\); 8) 4; 9) \(\pm\frac{\sqrt{21}}{3}\); 10) 0; 11) \(1{,}5\); 12) 1; 13) 6; 14) 0; 2; 15) \(-2\).
1) Запишем правую часть как степень с основанием 4: \(4^{x} = 4^{3}\). Отсюда \(x = 3\).
2) Запишем правую часть как степень с основанием 3: \(3^{x} = 3^{-4}\). Отсюда \(x = -4\).
3) Единицу, стоящую справа, запишем как степень с основанием \(0{,}6\): \(0{,}6^{2x - 3} = 0{,}6^{0}\). Отсюда \(2x - 3 = 0\); \(x = 1{,}5\).
4) Запишем правую часть как степень с основанием 10: \(10^{-x} = 10^{-3}\). Отсюда \(-x = -3\); \(x = 3\).
5) Основания степеней равны, поэтому данное уравнение равносильно уравнению \(5 - x = 3x - 7\). Отсюда \(4x = 12\); \(x = 3\).
6) Представим каждую из частей уравнения в виде степени с основанием 2: \(2^{3x} = 2^{4}\). Отсюда \(3x = 4\); \(x = \frac{4}{3}\).
7) Так как \(0{,}16 = \frac{4}{25} = \left(\frac{2}{5}\right)^{2}\) и \(\frac{5}{2} = \left(\frac{2}{5}\right)^{-1}\), представим каждую из частей уравнения в виде степени с основанием \(\frac{2}{5}\): \(\left(\frac{2}{5}\right)^{2x} = \left(\frac{2}{5}\right)^{-1}\). Отсюда \(2x = -1\); \(x = -0{,}5\).
8) Так как \(5^{x} > 0\) при любом \(x\), то \(\sqrt{5^{x}} = 5^{\frac{x}{2}}\), и данное уравнение принимает вид \(5^{\frac{x}{2}} = 5^{2}\). Отсюда \(\frac{x}{2} = 2\); \(x = 4\).
9) Так как \(0{,}25 = 2^{-2}\), представим каждую из частей уравнения в виде степени с основанием 2: \(2^{-2\left(x^{2} - 4\right)} = 2^{x^{2} + 1}\). Отсюда \(-2x^{2} + 8 = x^{2} + 1\); \(3x^{2} = 7\); \(x^{2} = \frac{7}{3}\).
Значит, \(x = -\frac{\sqrt{21}}{3}\) или \(x = \frac{\sqrt{21}}{3}\).
10) Показатели степеней в левой части одинаковы, поэтому произведение степеней равно степени произведения оснований: \(\left(\frac{4}{9} \cdot \frac{27}{8}\right)^{x - 1} = \frac{2}{3}\); \(\left(\frac{3}{2}\right)^{x - 1} = \frac{2}{3}\).
Запишем правую часть как степень с основанием \(\frac{3}{2}\): \(\left(\frac{3}{2}\right)^{x - 1} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-1}\). Отсюда \(x - 1 = -1\); \(x = 0\).
11) Представим каждую из частей уравнения в виде степени с основанием 10: \((2 \cdot 5)^{x} = 10^{-1} \cdot 10^{5x - 5}\); \(10^{x} = 10^{5x - 6}\). Отсюда \(x = 5x - 6\); \(4x = 6\); \(x = 1{,}5\).
12) Так как \(\frac{7}{4} = \left(\frac{4}{7}\right)^{-1}\), правую часть запишем как степень с основанием \(\frac{4}{7}\): \(\left(\frac{4}{7}\right)^{3x - 7} = \left(\frac{4}{7}\right)^{3 - 7x}\). Отсюда \(3x - 7 = 3 - 7x\); \(10x = 10\); \(x = 1\).
13) Представим каждую из частей уравнения в виде степени с основанием 6: \(6^{2x} = \left(6^{-3}\right)^{2 - x}\); \(6^{2x} = 6^{3x - 6}\). Отсюда \(2x = 3x - 6\); \(x = 6\).
14) Основания степеней разные, поэтому приравнивать показатели нельзя. Так как \(6^{x^{2} - 2x} \ne 0\) при любом \(x\), разделим на него обе части уравнения и получим уравнение, равносильное данному: \(\left(\frac{5}{6}\right)^{x^{2} - 2x} = 1\), то есть \(\left(\frac{5}{6}\right)^{x^{2} - 2x} = \left(\frac{5}{6}\right)^{0}\).
Отсюда \(x^{2} - 2x = 0\); \(x(x - 2) = 0\); \(x = 0\) или \(x = 2\).
15) Так как \(6^{x} \cdot 2^{-x} = \left(\frac{6}{2}\right)^{x} = 3^{x}\), правая часть уравнения равна \(3^{x} \cdot 3^{x + 1} = 3^{2x + 1}\), и уравнение принимает вид \(3^{x - 1} = 3^{2x + 1}\). Отсюда \(x - 1 = 2x + 1\); \(x = -2\).
Ответ: 1) 3; 2) \(-4\); 3) \(1{,}5\); 4) 3; 5) 3; 6) \(\frac{4}{3}\); 7) \(-0{,}5\); 8) 4; 9) \(\pm\frac{\sqrt{21}}{3}\); 10) 0; 11) \(1{,}5\); 12) 1; 13) 6; 14) 0; 2; 15) \(-2\).
