Страница 16 номер 1.52, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Существуют ли такие иррациональные числа \(a\) и \(b\), что \(a^{b}\) — рациональное число?
Число \(\sqrt{2}\) иррационально, основание \(\sqrt{2}\) положительно, поэтому степень \(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\) определена. Она либо рациональна, либо иррациональна — разберём оба случая.
Первый случай. Число \(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\) рационально. Тогда годится пара \(a = \sqrt{2}\), \(b = \sqrt{2}\): оба числа иррациональны, а степень \(a^{b} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}\) рациональна.
Второй случай. Число \(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\) иррационально. Тогда возьмём \(a = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}\) и \(b = \sqrt{2}\): оба числа иррациональны, и
\[a^{b} = \left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{2}^{2} = 2.\]
Значит, и в этом случае степень \(a^{b}\) рациональна.
В каждом из двух случаев нужная пара нашлась, поэтому искомые иррациональные числа существуют.
Ответ: да, такие иррациональные числа существуют.
Существуют ли такие иррациональные числа \(a\) и \(b\), что \(a^{b}\) — рациональное число?
Такие числа существуют, и в этом можно убедиться, не предъявляя их явно.
Число \(\sqrt{2}\) иррационально. Основание \(\sqrt{2}\) положительно, поэтому степень с любым действительным показателем для него определена; рассмотрим число \(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\). Оно либо рационально, либо иррационально — разберём оба случая.
Первый случай. Пусть число \(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\) рационально. Тогда годится пара \(a = \sqrt{2}\), \(b = \sqrt{2}\): оба числа иррациональны, а степень \(a^{b} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}\) рациональна.
Второй случай. Пусть число \(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\) иррационально. Тогда возьмём \(a = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}\) и \(b = \sqrt{2}\): оба числа иррациональны. По свойству степени \((x^{\alpha})^{\beta} = x^{\alpha\beta}\) получаем
\[a^{b} = \left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{2}^{2} = 2.\]
Значит, и в этом случае степень \(a^{b}\) рациональна.
В каждом из двух случаев нужная пара иррациональных чисел нашлась, поэтому искомые числа существуют. Какой именно из случаев имеет место, это рассуждение не выясняет, но для ответа на вопрос задачи знать это и не требуется.
Ответ: да, такие иррациональные числа существуют.
