Вопросы после параграфа §2 на странице 19, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1. Опишите, какое уравнение называют показательным. 2. Сформулируйте теоремы, которые используют при решении показательных уравнений.
Показательным называют уравнение, в котором переменная содержится только в показателе степени, а основаниями степеней служат данные положительные числа.
Примеры: \(2^{x} = 8\), \(3^{x} \cdot 3^{x - 1} = 4\), \(0{,}3^{x - 4} = 0{,}3^{x^{2}}\). Уравнение \(x^{3} = 8\) показательным не является: в нём переменная — основание степени, а показатель постоянен.
Ответ: показательным называют уравнение, в котором переменная содержится только в показателе степени, например \(2^{x} = 8\), \(3^{x} \cdot 3^{x - 1} = 4\), \(0{,}3^{x - 4} = 0{,}3^{x^{2}}\).
Теорема о равенстве двух степеней с одинаковым основанием: при \(a > 0\) и \(a \ne 1\) равенство \(a^{x_{1}} = a^{x_{2}}\) выполняется тогда и только тогда, когда \(x_{1} = x_{2}\). Она следует из монотонности показательной функции: при \(a > 1\) функция \(y = a^{x}\) возрастающая, а при \(0 < a < 1\) — убывающая, поэтому разным показателям не могут отвечать равные степени.
Следствие, которым и пользуются при решении: если \(a > 0\) и \(a \ne 1\), то уравнение \(a^{f(x)} = a^{g(x)}\) равносильно уравнению \(f(x) = g(x)\).
Например, уравнение \(2^{4x - 3} = 2^{x + 9}\) равносильно уравнению \(4x - 3 = x + 9\), отсюда \(x = 4\).
Ответ: при \(a > 0\) и \(a \ne 1\) равенство \(a^{x_{1}} = a^{x_{2}}\) выполняется тогда и только тогда, когда \(x_{1} = x_{2}\); следствие: при \(a > 0\) и \(a \ne 1\) уравнение \(a^{f(x)} = a^{g(x)}\) равносильно уравнению \(f(x) = g(x)\).
1. Опишите, какое уравнение называют показательным. 2. Сформулируйте теоремы, которые используют при решении показательных уравнений.
Показательным называют уравнение, в котором переменная содержится только в показателе степени, а основаниями степеней служат данные положительные числа.
Примеры показательных уравнений: \(2^{x} = 8\), \(3^{x} \cdot 3^{x - 1} = 4\), \(0{,}3^{x - 4} = 0{,}3^{x^{2}}\). В каждом из них переменная стоит лишь в показателе, а основаниями служат числа 2, 3 и \(0{,}3\).
Уравнение \(x^{3} = 8\) показательным не является: в нём переменная — основание степени, а показатель постоянен.
Ответ: показательным называют уравнение, в котором переменная содержится только в показателе степени, например \(2^{x} = 8\), \(3^{x} \cdot 3^{x - 1} = 4\), \(0{,}3^{x - 4} = 0{,}3^{x^{2}}\).
При решении показательных уравнений пользуются теоремой о равенстве двух степеней с одинаковым основанием.
При \(a > 0\) и \(a \ne 1\) равенство \(a^{x_{1}} = a^{x_{2}}\) выполняется тогда и только тогда, когда \(x_{1} = x_{2}\).
Справедливость этой теоремы следует из монотонности показательной функции: при \(a > 1\) функция \(y = a^{x}\) возрастающая, а при \(0 < a < 1\) — убывающая, поэтому большему показателю отвечает строго большее (соответственно строго меньшее) значение степени. Значит, разным показателям не могут отвечать равные степени, и равенство \(a^{x_{1}} = a^{x_{2}}\) возможно лишь при \(x_{1} = x_{2}\).
Из теоремы вытекает следствие, которым и пользуются при решении: если \(a > 0\) и \(a \ne 1\), то уравнение \(a^{f(x)} = a^{g(x)}\) равносильно уравнению \(f(x) = g(x)\).
Например, уравнение \(2^{4x - 3} = 2^{x + 9}\) равносильно уравнению \(4x - 3 = x + 9\), отсюда \(x = 4\).
Ответ: при \(a > 0\) и \(a \ne 1\) равенство \(a^{x_{1}} = a^{x_{2}}\) выполняется тогда и только тогда, когда \(x_{1} = x_{2}\); следствие: при \(a > 0\) и \(a \ne 1\) уравнение \(a^{f(x)} = a^{g(x)}\) равносильно уравнению \(f(x) = g(x)\).
