Страница 109 номер 9.9, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(AB \perp AC\), \(AB \perp AD\), \(AC \perp AD\)
\(CD = 2\sqrt{43}\) см
\(BD = 12\) см
\(\angle ABD = 60^\circ\)

Найти: \(BC\).

Решение:

Прямые \(AB\), \(AC\) и \(AD\) пересекаются в точке \(A\) и попарно перпендикулярны, поэтому \(\angle BAD = \angle CAD = \angle BAC = 90^\circ\): треугольники \(BAD\), \(CAD\) и \(BAC\) прямоугольные с прямым углом при вершине \(A\).

В прямоугольном треугольнике \(BAD\) катет \(AB\) прилежит к углу \(ABD\), а катет \(AD\) лежит против него: \[\begin{aligned} AB &= BD \cdot \cos 60^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ (см)}; \\ AD &= BD \cdot \sin 60^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ (см)}. \end{aligned}\]

По теореме Пифагора из треугольника \(CAD\): \[\begin{aligned} &AC = \sqrt{CD^2 - AD^2} = \sqrt{(2\sqrt{43})^2 - (6\sqrt{3})^2} = {} \\ &= \sqrt{172 - 108} = \sqrt{64} = 8 \text{ (см)}. \end{aligned}\]

Из треугольника \(BAC\): \[BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 \text{ (см)}.\]

Ответ: 10 см.