Страница 110 номер 9.22, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Пусть \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AB\) и \(D_1C_1\), \(P\) — середина ребра \(DC\).

Плоскости противолежащих граней куба параллельны по признаку параллельности двух плоскостей: например, пересекающиеся прямые \(AD\) и \(AA_1\) плоскости \(AA_1D\) соответственно параллельны прямым \(BC\) и \(BB_1\) плоскости \(BB_1C\).

Прямые \(AB\) и \(D_1C_1\) параллельны прямой \(DC\) как противолежащие стороны квадратов \(ABCD\) и \(DD_1C_1C\). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, поэтому \(AB \parallel D_1C_1\) и точки \(A\), \(B\), \(C_1\) и \(D_1\) лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости \(AA_1D\) и \(BB_1C\) по параллельным прямым \(AD_1\) и \(BC_1\). Значит, у четырёхугольника \(ABC_1D_1\) противолежащие стороны попарно параллельны — это параллелограмм. Отрезок \(MN\) соединяет середины его противолежащих сторон \(AB\) и \(D_1C_1\), поэтому \(MN \parallel AD_1\).

Отрезок \(MP\) соединяет середины противолежащих сторон \(AB\) и \(DC\) квадрата \(ABCD\), поэтому \(MP \parallel BC\), а \(BC \parallel B_1C_1\); значит, \(MP \parallel B_1C_1\) и точки \(M\), \(P\), \(C_1\), \(B_1\) лежат в одной плоскости. Она пересекает параллельные плоскости \(AA_1B\) и \(DD_1C\) по параллельным прямым \(MB_1\) и \(PC_1\). В квадрате \(DD_1C_1C\) отрезки \(DP\) и \(NC_1\) — половины противолежащих сторон \(DC\) и \(D_1C_1\), поэтому \(DPC_1N\) — параллелограмм и \(PC_1 \parallel DN\). Следовательно, \(MB_1 \parallel DN\).

Параллельные прямые \(MB_1\) и \(DN\) лежат в одной плоскости. Она пересекает параллельные плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) по параллельным прямым \(MD\) и \(B_1N\). Значит, у четырёхугольника \(MB_1ND\) противолежащие стороны попарно параллельны — это параллелограмм. Прямоугольные треугольники \(MBB_1\) и \(NC_1B_1\) (\(\angle MBB_1 = \angle NC_1B_1 = 90^\circ\)) равны по двум катетам: \(BB_1 = C_1B_1\) как рёбра куба, \(MB = NC_1\) как половины рёбер. Поэтому \(MB_1 = B_1N\), и параллелограмм \(MB_1ND\) с равными соседними сторонами — ромб. Диагонали ромба перпендикулярны: \(MN \perp B_1D\).

Поскольку \(MN \parallel AD_1\), то угол между прямыми \(B_1D\) и \(AD_1\) равен углу между пересекающимися прямыми \(B_1D\) и \(MN\), то есть \(90^\circ\). Следовательно, прямые \(B_1D\) и \(AD_1\) перпендикулярны.

Ответ: прямые \(B_1D\) и \(AD_1\) перпендикулярны.