Страница 93 номер 8.26, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Эллипс с центром \(O_1\) является изображением окружности с центром \(O\). Постройте изображение правильного треугольника: 1) вписанного в данную окружность; 2) описанного около данной окружности.
1) Пусть \(ABC\) — правильный треугольник, вписанный в данную окружность с центром \(O\), отрезок \(AD\) — диаметр окружности, точка \(M\) — середина стороны \(BC\).
Центром правильного треугольника является точка пересечения его медиан, поэтому точка \(O\) лежит на медиане \(AM\) и \(AO : OM = 2 : 1\). Отрезки \(AO\) и \(OD\) равны как радиусы, значит, \(OM = \frac{1}{2} OD\), то есть точка \(M\) — середина отрезка \(OD\). Медиана \(AM\) равностороннего треугольника является и его высотой, поэтому \(BC \perp AD\).
Проведём в окружности хорду \(PQ\), параллельную диаметру \(AD\), и пусть точка \(Z\) — её середина. Радиус, проведённый в середину хорды, перпендикулярен этой хорде, поэтому \(OZ \perp PQ\), а вместе с тем и \(OZ \perp AD\). Прямые \(BC\) и \(OZ\) лежат в плоскости данной окружности и перпендикулярны одной и той же прямой \(AD\), следовательно, \(BC \parallel OZ\).
Отметим на эллипсе произвольную точку \(A_1\) — изображение вершины \(A\). Точка \(O\) — середина диаметра \(AD\), поэтому по теореме 7.3 изображением точки \(D\) служит вторая точка \(D_1\) пересечения прямой \(A_1O_1\) с эллипсом. Проведём хорду \(P_1Q_1\) эллипса, параллельную хорде \(A_1D_1\) и отличную от неё, и отметим её середину \(Z_1\). Такую хорду можно взять любую: прямые \(PQ\) и \(AD\) лежат в плоскости данной окружности, и если бы они пересекались, то пересекались бы и их изображения.
Изображением точки \(M\) служит середина \(M_1\) отрезка \(O_1D_1\), а изображением прямой \(OZ\) — прямая \(O_1Z_1\). Поскольку \(BC \parallel OZ\), то по теореме 7.2 изображениями прямых \(BC\) и \(OZ\) являются или одна прямая, или две параллельные прямые. Слиться в одну прямую они не могут: изображением данной окружности служит эллипс, а если бы прямая, задающая направление проектирования, была параллельна плоскости окружности или лежала в ней, изображением окружности был бы отрезок. Значит, изображением прямой \(BC\) является прямая, проходящая через точку \(M_1\) параллельно прямой \(O_1Z_1\). Точки \(B\) и \(C\) лежат на данной окружности, поэтому их изображения \(B_1\) и \(C_1\) — точки пересечения этой прямой с эллипсом.
Ответ: искомое изображение — треугольник \(A_1B_1C_1\), у которого \(A_1\) — произвольная точка эллипса, а \(B_1\) и \(C_1\) — точки пересечения эллипса с прямой, проходящей через середину \(M_1\) отрезка \(O_1D_1\) параллельно прямой \(O_1Z_1\), где \(D_1\) — вторая точка пересечения прямой \(A_1O_1\) с эллипсом, а \(Z_1\) — середина какой-нибудь хорды эллипса, параллельной хорде \(A_1D_1\) и отличной от неё.
2) Пусть \(KLN\) — правильный треугольник, описанный около данной окружности, а точки \(A\), \(B\) и \(C\) — точки касания окружности со сторонами \(LN\), \(NK\) и \(KL\) соответственно.
Точка касания вписанной окружности со стороной правильного треугольника является серединой этой стороны, поэтому отрезки \(KA\), \(LB\) и \(NC\) — медианы треугольника \(KLN\), а треугольник \(ABC\) — правильный треугольник, вписанный в данную окружность. Центр \(O\) вписанной окружности — точка пересечения медиан треугольника \(KLN\), поэтому точка \(O\) лежит между точками \(K\) и \(A\) и \(KO : OA = 2 : 1\), то есть \(OK = 2\,OA\). Так же \(OL = 2\,OB\) и \(ON = 2\,OC\).
Построим, как в пункте 1, треугольник \(A_1B_1C_1\) — изображение правильного треугольника, вписанного в данную окружность; его вершины и есть изображения точек касания. Точки \(K\), \(O\) и \(A\) лежат на одной прямой, причём точка \(O\) лежит между \(K\) и \(A\), поэтому точка \(O_1\) лежит между \(K_1\) и \(A_1\), а по теореме 7.3 \(O_1K_1 = 2\,O_1A_1\). Так же строятся точки \(L_1\) и \(N_1\).
Ответ: искомое изображение — треугольник \(K_1L_1N_1\), у которого точки \(K_1\), \(L_1\) и \(N_1\) лежат на лучах \(A_1O_1\), \(B_1O_1\) и \(C_1O_1\) за точкой \(O_1\), причём \(O_1K_1 = 2\,O_1A_1\), \(O_1L_1 = 2\,O_1B_1\) и \(O_1N_1 = 2\,O_1C_1\), где \(A_1B_1C_1\) — изображение правильного треугольника, вписанного в данную окружность.
Эллипс с центром \(O_1\) является изображением окружности с центром \(O\). Постройте изображение правильного треугольника: 1) вписанного в данную окружность; 2) описанного около данной окружности.
1) Пусть \(ABC\) — правильный треугольник, вписанный в данную окружность с центром \(O\), отрезок \(AD\) — диаметр окружности, точка \(M\) — середина стороны \(BC\).
Центром правильного треугольника является точка пересечения его медиан, поэтому точка \(O\) лежит на медиане \(AM\) и \(AO : OM = 2 : 1\). Отрезки \(AO\) и \(OD\) равны как радиусы, значит, \(OM = \frac{1}{2} OD\), то есть точка \(M\) — середина отрезка \(OD\). Медиана \(AM\) равностороннего треугольника является и его высотой, поэтому \(BC \perp AD\).
Проведём в окружности хорду \(PQ\), параллельную диаметру \(AD\), и пусть точка \(Z\) — её середина. Радиус, проведённый в середину хорды, перпендикулярен этой хорде, поэтому \(OZ \perp PQ\), а вместе с тем и \(OZ \perp AD\). Прямые \(BC\) и \(OZ\) лежат в плоскости данной окружности и перпендикулярны одной и той же прямой \(AD\), следовательно, \(BC \parallel OZ\).
Отметим на эллипсе произвольную точку \(A_1\) — изображение вершины \(A\). Точка \(O\) — середина диаметра \(AD\), а из теоремы 7.3 следует, что параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции, поэтому изображением точки \(D\) служит вторая точка \(D_1\) пересечения прямой \(A_1O_1\) с эллипсом. Проведём какую-нибудь хорду \(P_1Q_1\) эллипса, параллельную хорде \(A_1D_1\) и отличную от неё, и отметим её середину \(Z_1\). Такую хорду можно взять любую: прямые \(PQ\) и \(AD\) лежат в плоскости данной окружности, и если бы они пересекались, то пересекались бы и их изображения.
Изображением точки \(M\) служит середина \(M_1\) отрезка \(O_1D_1\), а изображением прямой \(OZ\) — прямая \(O_1Z_1\). Поскольку \(BC \parallel OZ\), то по теореме 7.2 изображениями прямых \(BC\) и \(OZ\) являются или одна прямая, или две параллельные прямые. Слиться в одну прямую они не могут: изображением данной окружности служит эллипс, а если бы прямая, задающая направление проектирования, была параллельна плоскости окружности или лежала в ней, изображением окружности был бы отрезок. Значит, изображением прямой \(BC\) является прямая, проходящая через точку \(M_1\) параллельно прямой \(O_1Z_1\). Точки \(B\) и \(C\) лежат на данной окружности, поэтому их изображения \(B_1\) и \(C_1\) — точки пересечения этой прямой с эллипсом.
Ответ: искомое изображение — треугольник \(A_1B_1C_1\), у которого \(A_1\) — произвольная точка эллипса, а \(B_1\) и \(C_1\) — точки пересечения эллипса с прямой, проходящей через середину \(M_1\) отрезка \(O_1D_1\) параллельно прямой \(O_1Z_1\), где \(D_1\) — вторая точка пересечения прямой \(A_1O_1\) с эллипсом, а \(Z_1\) — середина какой-нибудь хорды эллипса, параллельной хорде \(A_1D_1\) и отличной от неё.
2) Пусть \(KLN\) — правильный треугольник, описанный около данной окружности, а точки \(A\), \(B\) и \(C\) — точки касания окружности со сторонами \(LN\), \(NK\) и \(KL\) соответственно.
Точка касания вписанной окружности со стороной правильного треугольника является серединой этой стороны, поэтому отрезки \(KA\), \(LB\) и \(NC\) — медианы треугольника \(KLN\), а треугольник \(ABC\) — правильный треугольник, вписанный в данную окружность. Центр \(O\) вписанной окружности — точка пересечения медиан треугольника \(KLN\), поэтому точка \(O\) лежит между точками \(K\) и \(A\) и \(KO : OA = 2 : 1\), то есть \(OK = 2\,OA\). Так же \(OL = 2\,OB\) и \(ON = 2\,OC\).
Построим, как в пункте 1, треугольник \(A_1B_1C_1\) — изображение правильного треугольника, вписанного в данную окружность. Его вершины и есть изображения точек касания. Точки \(K\), \(O\) и \(A\) лежат на одной прямой, причём точка \(O\) лежит между \(K\) и \(A\), поэтому точка \(O_1\) лежит между \(K_1\) и \(A_1\); отношение длин параллельных проекций отрезков, лежащих на одной прямой, равно отношению длин самих отрезков (теорема 7.3), поэтому \(O_1K_1 = 2\,O_1A_1\). Так же строятся точки \(L_1\) и \(N_1\).
Ответ: искомое изображение — треугольник \(K_1L_1N_1\), у которого точки \(K_1\), \(L_1\) и \(N_1\) лежат на лучах \(A_1O_1\), \(B_1O_1\) и \(C_1O_1\) за точкой \(O_1\), причём \(O_1K_1 = 2\,O_1A_1\), \(O_1L_1 = 2\,O_1B_1\) и \(O_1N_1 = 2\,O_1C_1\), где \(A_1B_1C_1\) — изображение правильного треугольника, вписанного в данную окружность.
