Страница 95 номер 8.36, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Вершины \(M\), \(N\), \(K\) и \(F\) трапеции \(MNKF\) (\(MF \parallel NK\)) принадлежат соответственно сторонам \(AD\), \(AB\), \(BC\) и \(CD\) четырёхугольника \(ABCD\), причём \(MF \parallel AC\). Докажите, что прямые \(MN\), \(FK\) и \(BD\) пересекаются в одной точке.
Рассмотрим точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) как вершины тетраэдра \(ABCD\), а данный чертёж — как его изображение: по теореме Польке—Шварца изображением любого тетраэдра может служить с точностью до подобия любой четырёхугольник вместе с его диагоналями. Отметим на рёбрах \(AD\), \(AB\), \(BC\) и \(CD\) тетраэдра точки, изображениями которых являются данные точки, и обозначим их теми же буквами \(M\), \(N\), \(K\) и \(F\).
Прямые \(MF\) и \(AC\) лежат в одной плоскости \(ACD\), потому что точка \(M\) принадлежит ребру \(AD\), а точка \(F\) — ребру \(CD\). Если бы эти прямые пересекались, то пересекались бы и их изображения; но изображения параллельны, значит, \(MF \parallel AC\). Изображение отрезка \(NK\) параллельно изображению отрезка \(MF\), а значит, и изображению отрезка \(AC\); прямые \(NK\) и \(AC\) лежат в одной плоскости \(ABC\), поэтому точно так же \(NK \parallel AC\).
Следовательно, \(MF \parallel NK\). Через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна, поэтому точки \(M\), \(N\), \(K\) и \(F\) лежат в одной плоскости, а четырёхугольник \(MNKF\) — сечение тетраэдра этой плоскостью.
Отрезки \(MF\) и \(NK\) лежат на параллельных прямых, а отношение длин таких отрезков при параллельном проектировании сохраняется (теорема 7.3). На изображении \(MF \ne NK\) (это основания трапеции), поэтому \(MF \ne NK\) и в пространстве, то есть четырёхугольник \(MNKF\) — трапеция, и прямые \(MN\) и \(FK\) не параллельны.
Прямые \(MN\) и \(FK\) лежат в плоскости сечения и не параллельны, поэтому пересекаются; пусть \(X\) — их общая точка. Точка \(X\) принадлежит прямой \(MN\), лежащей в плоскости \(ABD\), и прямой \(FK\), лежащей в плоскости \(BCD\). Эти плоскости различны и имеют общие точки \(B\) и \(D\), поэтому пересекаются по прямой \(BD\), значит, точка \(X\) принадлежит прямой \(BD\).
Изображение точки \(X\) принадлежит изображениям всех трёх прямых, значит, и на данном чертеже прямые \(MN\), \(FK\) и \(BD\) пересекаются в одной точке.
Ответ: прямые \(MN\), \(FK\) и \(BD\) пересекаются в одной точке.
Вершины \(M\), \(N\), \(K\) и \(F\) трапеции \(MNKF\) (\(MF \parallel NK\)) принадлежат соответственно сторонам \(AD\), \(AB\), \(BC\) и \(CD\) четырёхугольника \(ABCD\), причём \(MF \parallel AC\). Докажите, что прямые \(MN\), \(FK\) и \(BD\) пересекаются в одной точке.
Рассмотрим точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) как вершины тетраэдра \(ABCD\), а данный чертёж — как его изображение: по теореме Польке—Шварца изображением любого тетраэдра может служить с точностью до подобия любой четырёхугольник вместе с его диагоналями. Отметим на рёбрах \(AD\), \(AB\), \(BC\) и \(CD\) тетраэдра точки, изображениями которых являются данные точки, и обозначим их теми же буквами \(M\), \(N\), \(K\) и \(F\).
Прямые \(MF\) и \(AC\) лежат в одной плоскости \(ACD\), потому что точка \(M\) принадлежит ребру \(AD\), а точка \(F\) — ребру \(CD\). Если бы эти прямые пересекались, то пересекались бы и их изображения; но изображения параллельны, значит, \(MF \parallel AC\). Изображение отрезка \(NK\) параллельно изображению отрезка \(MF\), а значит, и изображению отрезка \(AC\); прямые \(NK\) и \(AC\) лежат в одной плоскости \(ABC\), поэтому точно так же \(NK \parallel AC\).
Следовательно, \(MF \parallel NK\). Через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна, поэтому точки \(M\), \(N\), \(K\) и \(F\) лежат в одной плоскости, а четырёхугольник \(MNKF\) — сечение тетраэдра этой плоскостью.
Отрезки \(MF\) и \(NK\) лежат на параллельных прямых, а отношение длин таких отрезков при параллельном проектировании сохраняется (теорема 7.3). На изображении \(MF \ne NK\) (это основания трапеции), поэтому \(MF \ne NK\) и в пространстве, то есть четырёхугольник \(MNKF\) — трапеция, и прямые \(MN\) и \(FK\) не параллельны.
Прямые \(MN\) и \(FK\) лежат в плоскости сечения и не параллельны, поэтому они пересекаются; пусть \(X\) — их общая точка. Точка \(X\) принадлежит прямой \(MN\), лежащей в плоскости \(ABD\), и прямой \(FK\), лежащей в плоскости \(BCD\). Эти плоскости различны и имеют общие точки \(B\) и \(D\), поэтому пересекаются по прямой \(BD\). Значит, точка \(X\) принадлежит прямой \(BD\), то есть прямые \(MN\), \(FK\) и \(BD\) проходят через одну точку \(X\).
Изображением точки \(X\) является точка, принадлежащая изображениям всех трёх прямых. Значит, и на данном чертеже прямые \(MN\), \(FK\) и \(BD\) пересекаются в одной точке.
Ответ: прямые \(MN\), \(FK\) и \(BD\) пересекаются в одной точке.
