Страница 109 номер 9.6, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) и треугольник \(MEF\) не лежат в одной плоскости, точка \(E\) — середина отрезка \(AB\), точка \(F\) — середина отрезка \(CD\), \(ME = FE\), \(\angle MEF = 110^\circ\). Найдите угол между прямыми: 1) \(AD\) и \(EF\); 2) \(AD\) и \(ME\); 3) \(BC\) и \(MF\).
Дано:
\(ABCD\) — трапеция, \(AD \parallel BC\)
\(E\) — середина \(AB\), \(F\) — середина \(CD\)
точка \(M\) не лежит в плоскости \(ABC\)
\(ME = FE\)
\(\angle MEF = 110^\circ\)
Найти: угол между прямыми: 1) \(AD\) и \(EF\); 2) \(AD\) и \(ME\); 3) \(BC\) и \(MF\).
Решение:
1) Отрезок \(EF\) соединяет середины боковых сторон трапеции, то есть является её средней линией. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям: \(EF \parallel AD\) и \(EF \parallel BC\). Угол между параллельными прямыми считают равным \(0^\circ\), поэтому угол между прямыми \(AD\) и \(EF\) равен \(0^\circ\).
2) Поскольку \(EF \parallel AD\), то угол между прямыми \(AD\) и \(ME\) равен углу между прямыми \(EF\) и \(ME\). Эти прямые пересекаются в точке \(E\) и образуют углы \(110^\circ\) и \(180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\). Угол между пересекающимися прямыми — тот из этих углов, который не превосходит \(90^\circ\), поэтому угол между прямыми \(AD\) и \(ME\) равен \(70^\circ\).
3) Поскольку \(EF \parallel BC\), то угол между прямыми \(BC\) и \(MF\) равен углу между прямыми \(EF\) и \(MF\), то есть углу \(MFE\). Треугольник \(MEF\) равнобедренный (\(ME = FE\)), поэтому углы при его основании \(MF\) равны: \[\angle MFE = \angle EMF = \frac{180^\circ - 110^\circ}{2} = 35^\circ.\]
Угол между прямыми \(BC\) и \(MF\) равен \(35^\circ\).
Ответ: 1) угол между прямыми \(AD\) и \(EF\) равен \(0^\circ\); 2) между \(AD\) и \(ME\) — \(70^\circ\); 3) между \(BC\) и \(MF\) — \(35^\circ\).
Трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) и треугольник \(MEF\) не лежат в одной плоскости, точка \(E\) — середина отрезка \(AB\), точка \(F\) — середина отрезка \(CD\), \(ME = FE\), \(\angle MEF = 110^\circ\). Найдите угол между прямыми: 1) \(AD\) и \(EF\); 2) \(AD\) и \(ME\); 3) \(BC\) и \(MF\).
Дано:
\(ABCD\) — трапеция, \(AD \parallel BC\)
\(E\) — середина \(AB\), \(F\) — середина \(CD\)
точка \(M\) не лежит в плоскости \(ABC\)
\(ME = FE\)
\(\angle MEF = 110^\circ\)
Найти: угол между прямыми: 1) \(AD\) и \(EF\); 2) \(AD\) и \(ME\); 3) \(BC\) и \(MF\).
Решение:
Изобразим трапецию \(ABCD\), её среднюю линию \(EF\) и треугольник \(MEF\), не лежащий в плоскости трапеции.
1) Отрезок \(EF\) соединяет середины боковых сторон трапеции, то есть является её средней линией. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям: \(EF \parallel AD\) и \(EF \parallel BC\). Угол между параллельными прямыми считают равным \(0^\circ\), поэтому угол между прямыми \(AD\) и \(EF\) равен \(0^\circ\).
2) Поскольку \(EF \parallel AD\), то угол между прямыми \(AD\) и \(ME\) равен углу между прямыми \(EF\) и \(ME\). Эти прямые пересекаются в точке \(E\) и образуют углы \(110^\circ\) и \(180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\). Угол между пересекающимися прямыми — тот из этих углов, который не превосходит \(90^\circ\), поэтому угол между прямыми \(AD\) и \(ME\) равен \(70^\circ\).
3) Поскольку \(EF \parallel BC\), то угол между прямыми \(BC\) и \(MF\) равен углу между прямыми \(EF\) и \(MF\), то есть углу \(MFE\). Треугольник \(MEF\) равнобедренный (\(ME = FE\)), поэтому углы при его основании \(MF\) равны: \[\angle MFE = \angle EMF = \frac{180^\circ - 110^\circ}{2} = 35^\circ.\]
Угол между прямыми \(BC\) и \(MF\) равен \(35^\circ\).
Ответ: 1) угол между прямыми \(AD\) и \(EF\) равен \(0^\circ\); 2) между \(AD\) и \(ME\) — \(70^\circ\); 3) между \(BC\) и \(MF\) — \(35^\circ\).
