Страница 110 номер 9.17, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(E\), \(F\), \(M\) и \(K\) — середины соответственно рёбер \(AB\), \(AD\), \(CD\) и \(BC\) тетраэдра \(DABC\), \(AC = 12\) см, \(BD = 16\) см, \(FK = 2\sqrt{13}\) см. Найдите угол между прямыми \(AC\) и \(BD\).
Дано:
тетраэдр \(DABC\)
\(E\), \(F\), \(M\), \(K\) — середины рёбер \(AB\), \(AD\), \(CD\), \(BC\)
\(AC = 12\) см
\(BD = 16\) см
\(FK = 2\sqrt{13}\) см
Найти: угол между прямыми \(AC\) и \(BD\).
Решение: Отрезок \(EF\) — средняя линия треугольника \(ABD\), поэтому \(EF \parallel BD\) и \(EF = \frac{1}{2}BD = 8\) см. Отрезок \(EK\) — средняя линия треугольника \(ABC\), поэтому \(EK \parallel AC\) и \(EK = \frac{1}{2}AC = 6\) см. Поскольку \(EF \parallel BD\) и \(EK \parallel AC\), то угол между прямыми \(AC\) и \(BD\) равен углу между пересекающимися прямыми \(EF\) и \(EK\).
В треугольнике \(FEK\) известны все стороны: \(EF = 8\) см, \(EK = 6\) см, \(FK = 2\sqrt{13}\) см, \(FK^2 = 4 \cdot 13 = 52\). По теореме косинусов \[\begin{aligned} &\cos\angle FEK = \frac{EF^2 + EK^2 - FK^2}{2 \cdot EF \cdot EK} = {} \\ &= \frac{64 + 36 - 52}{2 \cdot 8 \cdot 6} = \frac{48}{96} = \frac{1}{2}. \end{aligned}\]
Следовательно, \(\angle FEK = 60^\circ\). Этот угол острый, поэтому угол между прямыми \(AC\) и \(BD\) равен \(60^\circ\).
Ответ: \(60^\circ\).
Точки \(E\), \(F\), \(M\) и \(K\) — середины соответственно рёбер \(AB\), \(AD\), \(CD\) и \(BC\) тетраэдра \(DABC\), \(AC = 12\) см, \(BD = 16\) см, \(FK = 2\sqrt{13}\) см. Найдите угол между прямыми \(AC\) и \(BD\).
Дано:
тетраэдр \(DABC\)
\(E\), \(F\), \(M\), \(K\) — середины рёбер \(AB\), \(AD\), \(CD\), \(BC\)
\(AC = 12\) см
\(BD = 16\) см
\(FK = 2\sqrt{13}\) см
Найти: угол между прямыми \(AC\) и \(BD\).
Решение: Отрезок \(EF\) — средняя линия треугольника \(ABD\), поэтому \(EF \parallel BD\) и \(EF = \frac{1}{2}BD = 8\) см. Отрезок \(EK\) — средняя линия треугольника \(ABC\), поэтому \(EK \parallel AC\) и \(EK = \frac{1}{2}AC = 6\) см. Поскольку \(EF \parallel BD\) и \(EK \parallel AC\), то угол между прямыми \(AC\) и \(BD\) равен углу между пересекающимися прямыми \(EF\) и \(EK\).
В треугольнике \(FEK\) известны все стороны: \(EF = 8\) см, \(EK = 6\) см, \(FK = 2\sqrt{13}\) см, \(FK^2 = 4 \cdot 13 = 52\). По теореме косинусов \[\begin{aligned} &\cos\angle FEK = \frac{EF^2 + EK^2 - FK^2}{2 \cdot EF \cdot EK} = {} \\ &= \frac{64 + 36 - 52}{2 \cdot 8 \cdot 6} = \frac{48}{96} = \frac{1}{2}. \end{aligned}\]
Следовательно, \(\angle FEK = 60^\circ\). Этот угол острый, поэтому угол между прямыми \(EF\) и \(EK\), а значит, и угол между прямыми \(AC\) и \(BD\), равен \(60^\circ\).
Ответ: \(60^\circ\).
