Страница 110 номер 9.24, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) отметили точку \(M\) так, что \(AM : MC = 3 : 2\). На отрезке \(BM\) отметили точку \(K\) так, что \(BK : KM = 4 : 1\). Прямая \(AK\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(P\). Найдите площадь треугольника \(ABP\), если площадь треугольника \(ABC\) равна 34 см\(^2\).
Дано:
\(\triangle ABC\)
\(S_{ABC} = 34\) см\(^2\)
\(M \in AC\), \(AM : MC = 3 : 2\)
\(K \in BM\), \(BK : KM = 4 : 1\)
\(P\) — точка пересечения прямой \(AK\) со стороной \(BC\)
Найти: \(S_{ABP}\).
Решение: Проведём через точку \(M\) прямую, параллельную прямой \(AP\); она пересекает отрезок \(PC\) в некоторой точке \(T\).
Параллельные прямые \(AP\) и \(MT\) пересекают стороны угла \(C\), поэтому по теореме о пропорциональных отрезках \(CT : TP = CM : MA = 2 : 3\). Параллельные прямые \(KP\) и \(MT\) пересекают стороны угла \(B\), поэтому \(BP : PT = BK : KM = 4 : 1\).
Пусть \(PT = 3x\). Тогда \(CT = 2x\), \(BP = 4 \cdot 3x = 12x\) и \(BC = BP + PT + TC = 12x + 3x + 2x = 17x\).
Треугольники \(ABP\) и \(ABC\) имеют общую высоту, проведённую из вершины \(A\), поэтому их площади относятся как основания: \(S_{ABP} : S_{ABC} = BP : BC = 12 : 17\). Значит, \(S_{ABP} = \frac{12}{17} \cdot 34 = 24\) (см\(^2\)).
Ответ: 24 см\(^2\).
