Страница 95 номер 8.34, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Существует ли пятиугольник, отличный от правильного, каждая диагональ которого параллельна некоторой стороне?
Такой пятиугольник существует.
Рассмотрим правильный пятиугольник \(ABCDE\). Каждый его угол равен \(108^\circ\), а треугольник \(ABC\) равнобедренный (\(AB = BC\)), поэтому \(\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = 36^\circ\) и \(\angle EAC = 108^\circ - 36^\circ = 72^\circ\). Углы \(EAC\) и \(AED\) — односторонние при прямых \(AC\) и \(ED\) и секущей \(AE\), а их сумма равна \(72^\circ + 108^\circ = 180^\circ\), поэтому \(AC \parallel ED\). Точно так же \(BD \parallel AE\), \(CE \parallel AB\), \(DA \parallel BC\) и \(EB \parallel DC\): каждая диагональ правильного пятиугольника параллельна одной из его сторон.
Пусть пятиугольник \(ABCDE\) лежит в плоскости \(\beta\), а плоскость \(\alpha\) пересекает плоскость \(\beta\) по прямой \(AB\). Отметим в плоскости \(\alpha\) точку \(C_1\), не принадлежащую плоскости \(\beta\), так, что \(BC_1 \ne AB\), и рассмотрим параллельное проектирование на плоскость \(\alpha\) в направлении прямой \(CC_1\).
Прямая \(CC_1\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(C_1\), поэтому такое проектирование определено; плоскость \(\beta\) она пересекает в точке \(C\), то есть не параллельна плоскости пятиугольника и не лежит в ней, и потому изображением пятиугольника \(ABCDE\) является пятиугольник \(A_1B_1C_1D_1E_1\). Точки \(A\) и \(B\) принадлежат плоскости \(\alpha\), поэтому \(A_1 = A\) и \(B_1 = B\), а точка \(C\) переходит в точку \(C_1\).
По теореме 7.2 параллельными проекциями двух параллельных прямых являются или одна прямая, или две параллельные прямые. Слиться в одну прямую проекции не могут: изображением пятиугольника \(ABCDE\) служит пятиугольник \(A_1B_1C_1D_1E_1\), а если бы прямая, задающая направление проектирования, была параллельна плоскости \(\beta\) или лежала в ней, изображением пятиугольника был бы отрезок. Поэтому в пятиугольнике \(A_1B_1C_1D_1E_1\) каждая диагональ параллельна той же стороне, что и в пятиугольнике \(ABCDE\).
При этом \(A_1B_1 = AB\) и \(B_1C_1 = BC_1 \ne AB\), то есть две соседние стороны пятиугольника \(A_1B_1C_1D_1E_1\) не равны. Значит, этот пятиугольник не является правильным, а каждая его диагональ параллельна некоторой стороне.
Ответ: существует; таким пятиугольником служит любая параллельная проекция правильного пятиугольника, не являющаяся правильным пятиугольником.
Существует ли пятиугольник, отличный от правильного, каждая диагональ которого параллельна некоторой стороне?
Такой пятиугольник существует.
Рассмотрим правильный пятиугольник \(ABCDE\). Каждый его угол равен \(108^\circ\), а треугольник \(ABC\) равнобедренный (\(AB = BC\)), поэтому \(\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = 36^\circ\) и \(\angle EAC = 108^\circ - 36^\circ = 72^\circ\). Углы \(EAC\) и \(AED\) — односторонние при прямых \(AC\) и \(ED\) и секущей \(AE\), а их сумма равна \(72^\circ + 108^\circ = 180^\circ\), поэтому \(AC \parallel ED\). Точно так же \(BD \parallel AE\), \(CE \parallel AB\), \(DA \parallel BC\) и \(EB \parallel DC\): каждая диагональ правильного пятиугольника параллельна одной из его сторон.
Пусть пятиугольник \(ABCDE\) лежит в плоскости \(\beta\), а плоскость \(\alpha\) пересекает плоскость \(\beta\) по прямой \(AB\). Отметим в плоскости \(\alpha\) точку \(C_1\), не принадлежащую плоскости \(\beta\), так, что \(BC_1 \ne AB\), и рассмотрим параллельное проектирование на плоскость \(\alpha\) в направлении прямой \(CC_1\).
Прямая \(CC_1\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(C_1\), поэтому такое проектирование определено; плоскость \(\beta\) она пересекает в точке \(C\), то есть не параллельна плоскости пятиугольника и не лежит в ней, и потому изображением пятиугольника \(ABCDE\) является пятиугольник \(A_1B_1C_1D_1E_1\). Точки \(A\) и \(B\) принадлежат плоскости \(\alpha\), поэтому они переходят сами в себя: \(A_1 = A\) и \(B_1 = B\); точка \(C\) переходит в точку \(C_1\).
По теореме 7.2 параллельными проекциями двух параллельных прямых являются или одна прямая, или две параллельные прямые. Слиться в одну прямую проекции не могут: изображением пятиугольника \(ABCDE\) служит пятиугольник \(A_1B_1C_1D_1E_1\), а если бы прямая, задающая направление проектирования, была параллельна плоскости \(\beta\) или лежала в ней, изображением пятиугольника был бы отрезок. Поэтому в пятиугольнике \(A_1B_1C_1D_1E_1\) каждая диагональ параллельна той же стороне, что и в пятиугольнике \(ABCDE\): \(A_1C_1 \parallel E_1D_1\), \(B_1D_1 \parallel A_1E_1\), \(C_1E_1 \parallel A_1B_1\), \(D_1A_1 \parallel B_1C_1\), \(E_1B_1 \parallel D_1C_1\).
При этом \(A_1B_1 = AB\) и \(B_1C_1 = BC_1 \ne AB\), то есть две соседние стороны пятиугольника \(A_1B_1C_1D_1E_1\) не равны. Значит, этот пятиугольник не является правильным, а каждая его диагональ параллельна некоторой стороне.
Ответ: существует; таким пятиугольником служит любая параллельная проекция правильного пятиугольника, не являющаяся правильным пятиугольником.
