Страница 110 номер 9.21, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Все рёбра тетраэдра \(DABC\) равны. Точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AB\) и \(CD\) соответственно. Найдите угол между прямыми \(MN\) и \(BC\).
Дано:
тетраэдр \(DABC\), все рёбра равны
\(M\) — середина ребра \(AB\)
\(N\) — середина ребра \(CD\)
Найти: угол между прямыми \(MN\) и \(BC\).
Решение: Пусть ребро тетраэдра равно \(a\), \(K\) — середина ребра \(BD\). Отрезок \(MK\) — средняя линия треугольника \(ABD\), поэтому \(MK = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}\). Отрезок \(NK\) — средняя линия треугольника \(CBD\), поэтому \(NK \parallel BC\) и \(NK = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}\). Поскольку \(NK \parallel BC\), то угол между прямыми \(MN\) и \(BC\) равен углу между пересекающимися прямыми \(MN\) и \(NK\).
Все грани тетраэдра — равносторонние треугольники со стороной \(a\), поэтому их медианы \(CM\) и \(DM\) равны \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Треугольник \(CMD\) равнобедренный, его медиана \(MN\), проведённая к основанию \(CD\), является высотой. Из прямоугольного треугольника \(MNC\) \[MN = \sqrt{CM^2 - CN^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}.\]
В треугольнике \(MKN\): \[MK^2 + NK^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{2} = MN^2.\]
По теореме, обратной теореме Пифагора, \(\angle MKN = 90^\circ\). Треугольник \(MKN\) прямоугольный и равнобедренный (\(MK = NK\)), поэтому \(\angle MNK = 45^\circ\). Следовательно, угол между прямыми \(MN\) и \(BC\) равен \(45^\circ\).
Ответ: \(45^\circ\).
Все рёбра тетраэдра \(DABC\) равны. Точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AB\) и \(CD\) соответственно. Найдите угол между прямыми \(MN\) и \(BC\).
Дано:
тетраэдр \(DABC\), все рёбра равны
\(M\) — середина ребра \(AB\)
\(N\) — середина ребра \(CD\)
Найти: угол между прямыми \(MN\) и \(BC\).
Решение: Пусть ребро тетраэдра равно \(a\), \(K\) — середина ребра \(BD\). Отрезок \(MK\) — средняя линия треугольника \(ABD\), поэтому \(MK = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}\). Отрезок \(NK\) — средняя линия треугольника \(CBD\), поэтому \(NK \parallel BC\) и \(NK = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}\). Поскольку \(NK \parallel BC\), то угол между прямыми \(MN\) и \(BC\) равен углу между пересекающимися прямыми \(MN\) и \(NK\).
Найдём \(MN\). Все грани тетраэдра — равносторонние треугольники со стороной \(a\), поэтому их медианы \(CM\) и \(DM\) равны \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Треугольник \(CMD\) равнобедренный, его медиана \(MN\), проведённая к основанию \(CD\), является высотой. Из прямоугольного треугольника \(MNC\) \[MN = \sqrt{CM^2 - CN^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}.\]
В треугольнике \(MKN\): \[MK^2 + NK^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{2} = MN^2.\]
По теореме, обратной теореме Пифагора, \(\angle MKN = 90^\circ\). Треугольник \(MKN\) прямоугольный и равнобедренный (\(MK = NK\)), поэтому \(\angle MNK = 45^\circ\). Следовательно, угол между прямыми \(MN\) и \(BC\) равен \(45^\circ\).
Ответ: \(45^\circ\).
