Страница 94 номер 8.27, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Эллипс с центром \(O_1\) является изображением окружности с центром \(O\). Постройте изображение квадрата: 1) вписанного в данную окружность; 2) описанного около данной окружности.
1) Пусть \(ABCD\) — квадрат, вписанный в данную окружность с центром \(O\). Его диагонали \(AC\) и \(BD\) — диаметры окружности, и они взаимно перпендикулярны.
Проведём в окружности хорду \(PQ\), параллельную диагонали \(AC\), и пусть точка \(Z\) — её середина. Радиус, проведённый в середину хорды, перпендикулярен этой хорде, поэтому \(OZ \perp PQ\), а вместе с тем и \(OZ \perp AC\). Прямые \(BD\) и \(OZ\) лежат в плоскости данной окружности, проходят через точку \(O\) и перпендикулярны прямой \(AC\), поэтому они совпадают, то есть точка \(Z\) лежит на прямой \(BD\).
Отметим на эллипсе произвольную точку \(A_1\) — изображение вершины \(A\). Точка \(O\) — середина диагонали \(AC\), поэтому по теореме 7.3 изображением вершины \(C\) служит вторая точка \(C_1\) пересечения прямой \(A_1O_1\) с эллипсом. Проведём хорду \(P_1Q_1\) эллипса, параллельную хорде \(A_1C_1\) и отличную от неё (такую хорду можно взять любую: если бы прямые \(PQ\) и \(AC\) пересекались, то пересекались бы и их изображения), и отметим её середину \(Z_1\). Прямая \(O_1Z_1\) — изображение прямой \(BD\), поэтому изображения \(B_1\) и \(D_1\) вершин \(B\) и \(D\) — точки пересечения прямой \(O_1Z_1\) с эллипсом.
Ответ: искомое изображение — параллелограмм \(A_1B_1C_1D_1\), у которого \(A_1C_1\) — произвольная хорда эллипса, проходящая через точку \(O_1\), а \(B_1D_1\) — хорда, проходящая через точку \(O_1\) и через середину \(Z_1\) какой-нибудь хорды эллипса, параллельной хорде \(A_1C_1\) и отличной от неё.
2) Пусть \(KLMN\) — квадрат, описанный около данной окружности, а точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) — точки касания его сторон с окружностью.
Точка касания вписанной окружности со стороной квадрата является серединой этой стороны, поэтому точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) — середины сторон квадрата \(KLMN\), а четырёхугольник \(ABCD\) — квадрат, вписанный в данную окружность.
Пусть точки \(A\) и \(B\) — точки касания двух соседних сторон, а \(K\) — общая вершина этих сторон. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому \(OA \perp KA\) и \(OB \perp KB\). Кроме того, \(OA = OB\) как радиусы, а \(KA = KB\) как половины сторон квадрата, каждая из которых равна радиусу вписанной окружности. Значит, четырёхугольник \(OAKB\) — квадрат, в частности параллелограмм.
Построим, как в пункте 1, параллелограмм \(A_1B_1C_1D_1\) — изображение квадрата, вписанного в данную окружность; его вершины и есть изображения точек касания. Изображением параллелограмма является параллелограмм, поэтому изображением вершины \(K\) служит четвёртая вершина \(K_1\) параллелограмма \(O_1A_1K_1B_1\). Так же строятся точки \(L_1\), \(M_1\) и \(N_1\) — четвёртые вершины параллелограммов \(O_1B_1L_1C_1\), \(O_1C_1M_1D_1\) и \(O_1D_1N_1A_1\).
Ответ: искомое изображение — параллелограмм \(K_1L_1M_1N_1\), вершины которого — четвёртые вершины параллелограммов \(O_1A_1K_1B_1\), \(O_1B_1L_1C_1\), \(O_1C_1M_1D_1\) и \(O_1D_1N_1A_1\), где \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) и \(D_1\) — вершины изображения квадрата, вписанного в данную окружность.
Эллипс с центром \(O_1\) является изображением окружности с центром \(O\). Постройте изображение квадрата: 1) вписанного в данную окружность; 2) описанного около данной окружности.
1) Пусть \(ABCD\) — квадрат, вписанный в данную окружность с центром \(O\). Его диагонали \(AC\) и \(BD\) — диаметры окружности, и они взаимно перпендикулярны.
Проведём в окружности хорду \(PQ\), параллельную диагонали \(AC\), и пусть точка \(Z\) — её середина. Радиус, проведённый в середину хорды, перпендикулярен этой хорде, поэтому \(OZ \perp PQ\), а вместе с тем и \(OZ \perp AC\). Прямые \(BD\) и \(OZ\) лежат в плоскости данной окружности, проходят через точку \(O\) и перпендикулярны прямой \(AC\), поэтому они совпадают, то есть точка \(Z\) лежит на прямой \(BD\).
Отметим на эллипсе произвольную точку \(A_1\) — изображение вершины \(A\). Точка \(O\) — середина диагонали \(AC\), а из теоремы 7.3 следует, что параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции, поэтому изображением вершины \(C\) служит вторая точка \(C_1\) пересечения прямой \(A_1O_1\) с эллипсом. Проведём какую-нибудь хорду \(P_1Q_1\) эллипса, параллельную хорде \(A_1C_1\) и отличную от неё (такую хорду можно взять любую: если бы прямые \(PQ\) и \(AC\) пересекались, то пересекались бы и их изображения), и отметим её середину \(Z_1\). Прямая \(O_1Z_1\) — изображение прямой \(BD\), поэтому изображения \(B_1\) и \(D_1\) вершин \(B\) и \(D\) — точки пересечения прямой \(O_1Z_1\) с эллипсом.
Ответ: искомое изображение — параллелограмм \(A_1B_1C_1D_1\), у которого \(A_1C_1\) — произвольная хорда эллипса, проходящая через точку \(O_1\), а \(B_1D_1\) — хорда, проходящая через точку \(O_1\) и через середину \(Z_1\) какой-нибудь хорды эллипса, параллельной хорде \(A_1C_1\) и отличной от неё.
2) Пусть \(KLMN\) — квадрат, описанный около данной окружности, а точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) — точки касания окружности со сторонами \(NK\), \(KL\), \(LM\) и \(MN\) соответственно.
Точка касания вписанной окружности со стороной квадрата является серединой этой стороны, поэтому точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) — середины сторон квадрата \(KLMN\), а четырёхугольник \(ABCD\) — квадрат, вписанный в данную окружность.
Стороны \(NK\) и \(KL\) соседние, их общая вершина — точка \(K\). Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому \(OA \perp KA\) и \(OB \perp KB\). Кроме того, \(OA = OB\) как радиусы, а \(KA = KB\) как половины сторон квадрата, каждая из которых равна радиусу вписанной окружности. Значит, четырёхугольник \(OAKB\) — квадрат, в частности параллелограмм.
Построим, как в пункте 1, параллелограмм \(A_1B_1C_1D_1\) — изображение квадрата, вписанного в данную окружность; его вершины и есть изображения точек касания. Изображением параллелограмма является параллелограмм, поэтому изображением вершины \(K\) служит четвёртая вершина \(K_1\) параллелограмма \(O_1A_1K_1B_1\). Так же строятся точки \(L_1\), \(M_1\) и \(N_1\) — четвёртые вершины параллелограммов \(O_1B_1L_1C_1\), \(O_1C_1M_1D_1\) и \(O_1D_1N_1A_1\).
Ответ: искомое изображение — параллелограмм \(K_1L_1M_1N_1\), вершины которого — четвёртые вершины параллелограммов \(O_1A_1K_1B_1\), \(O_1B_1L_1C_1\), \(O_1C_1M_1D_1\) и \(O_1D_1N_1A_1\), где \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) и \(D_1\) — вершины изображения квадрата, вписанного в данную окружность.
