Страница 110 номер 9.12, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Диагонали грани \(ABCD\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) пересекаются в точке \(O\). Найдите угол между прямыми \(OB_1\) и \(A_1C_1\).
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
\(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\) грани \(ABCD\)
Найти: угол между прямыми \(OB_1\) и \(A_1C_1\).
Решение:
Все грани куба — равные квадраты. Рёбра \(AA_1\) и \(CC_1\) параллельны: каждое из них параллельно ребру \(BB_1\) (противолежащие стороны квадратов \(AA_1B_1B\) и \(BB_1C_1C\)), а две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой. Поэтому точки \(A\), \(A_1\), \(C_1\), \(C\) лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) по параллельным прямым \(AC\) и \(A_1C_1\), поэтому угол между прямыми \(OB_1\) и \(A_1C_1\) равен углу между прямыми \(OB_1\) и \(AC\).
Отрезки \(AB_1\) и \(CB_1\) равны как диагонали равных квадратов \(AA_1B_1B\) и \(BB_1C_1C\), поэтому треугольник \(AB_1C\) равнобедренный с основанием \(AC\). Диагонали квадрата \(ABCD\) точкой пересечения делятся пополам, значит, \(O\) — середина \(AC\), и \(B_1O\) — медиана треугольника \(AB_1C\), проведённая к основанию. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является его высотой, поэтому \(B_1O \perp AC\). Угол между прямыми \(OB_1\) и \(A_1C_1\) равен \(90^\circ\).
Ответ: \(90^\circ\).
Диагонали грани \(ABCD\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) пересекаются в точке \(O\). Найдите угол между прямыми \(OB_1\) и \(A_1C_1\).
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
\(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\) грани \(ABCD\)
Найти: угол между прямыми \(OB_1\) и \(A_1C_1\).
Решение:
Все грани куба — равные квадраты. Рёбра \(AA_1\) и \(CC_1\) параллельны: каждое из них параллельно ребру \(BB_1\) (противолежащие стороны квадратов \(AA_1B_1B\) и \(BB_1C_1C\)), а две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой. Поэтому точки \(A\), \(A_1\), \(C_1\), \(C\) лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) по параллельным прямым \(AC\) и \(A_1C_1\). Поскольку \(A_1C_1 \parallel AC\), то угол между прямыми \(OB_1\) и \(A_1C_1\) равен углу между прямыми \(OB_1\) и \(AC\).
Отрезки \(AB_1\) и \(CB_1\) равны как диагонали равных квадратов \(AA_1B_1B\) и \(BB_1C_1C\), поэтому треугольник \(AB_1C\) равнобедренный с основанием \(AC\). Диагонали квадрата \(ABCD\) точкой пересечения делятся пополам, значит, \(O\) — середина \(AC\), и \(B_1O\) — медиана треугольника \(AB_1C\), проведённая к основанию. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является его высотой, поэтому \(B_1O \perp AC\). Угол между прямыми \(OB_1\) и \(A_1C_1\) равен \(90^\circ\).
Ответ: \(90^\circ\).
