Страница 119 номер 10.3, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Верно ли утверждение, что если прямая не перпендикулярна плоскости, то она не перпендикулярна ни одной прямой этой плоскости?
Пусть \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб. Прямая \(A_1D\) не перпендикулярна плоскости \(ABC\): она не перпендикулярна прямой \(DA\) этой плоскости, ведь в прямоугольном треугольнике \(A_1AD\) катеты \(AA_1\) и \(AD\) равны и \(\angle A_1DA = 45^\circ\).
При этом \(DC \perp DA\) и \(DC \perp DD_1\) (грани куба — квадраты), а прямые \(DA\) и \(DD_1\) пересекаются в точке \(D\), поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(DC \perp ADD_1\). Прямая \(A_1D\) лежит в плоскости \(ADD_1\), значит, \(DC \perp A_1D\).
Таким образом, прямая \(A_1D\) не перпендикулярна плоскости \(ABC\), но перпендикулярна прямой \(DC\) этой плоскости.
Ответ: утверждение неверно: например, прямая \(A_1D\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) не перпендикулярна плоскости \(ABC\), но перпендикулярна прямой \(DC\) этой плоскости.
