Страница 94 номер 8.30, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Четырёхугольник \(A_1B_1C_1D_1\) (рис. 8.41) является изображением равнобокой трапеции \(ABCD\) (\(BC \parallel AD\)), в которую можно вписать окружность. Постройте изображение точек касания сторон трапеции со вписанной окружностью.
Пусть вписанная в равнобокую трапецию \(ABCD\) окружность касается оснований \(BC\) и \(AD\) в точках \(M\) и \(N\), а боковых сторон \(AB\) и \(CD\) — в точках \(P\) и \(Q\).
Прямая, проходящая через середины оснований равнобокой трапеции, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции. Центр вписанной окружности равноудалён от всех сторон трапеции, и такая точка одна, поэтому при симметрии относительно оси центр \(O\) переходит в себя, то есть лежит на оси. Точка касания окружности с основанием — основание перпендикуляра, опущенного из центра на это основание, поэтому точки \(M\) и \(N\) лежат на оси симметрии, а значит, точка \(M\) — середина основания \(BC\), а точка \(N\) — середина основания \(AD\).
Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, поэтому \(AP = AN = \frac{1}{2} AD\) и \(BP = BM = \frac{1}{2} BC\). Следовательно, \(AP : PB = AD : BC\). Так же \(DQ : QC = AD : BC\).
По теореме 7.3 изображениями точек \(M\) и \(N\) служат середины \(M_1\) и \(N_1\) отрезков \(B_1C_1\) и \(A_1D_1\).
Отрезки \(AD\) и \(BC\) лежат на параллельных прямых, поэтому по теореме 7.3 \(A_1D_1 : B_1C_1 = AD : BC\). Отношения \(AP : PB\) и \(DQ : QC\) — это отношения отрезков, лежащих на одной прямой, поэтому они тоже сохраняются. Значит, изображение точки \(P\) — такая точка \(P_1\) стороны \(A_1B_1\), что \(A_1P_1 : P_1B_1 = A_1D_1 : B_1C_1\), а изображение точки \(Q\) — такая точка \(Q_1\) стороны \(C_1D_1\), что \(D_1Q_1 : Q_1C_1 = A_1D_1 : B_1C_1\).
Ответ: изображения точек касания — середины \(M_1\) и \(N_1\) оснований \(B_1C_1\) и \(A_1D_1\) и такие точки \(P_1\) и \(Q_1\) боковых сторон \(A_1B_1\) и \(C_1D_1\), что \(A_1P_1 : P_1B_1 = D_1Q_1 : Q_1C_1 = A_1D_1 : B_1C_1\).
Четырёхугольник \(A_1B_1C_1D_1\) (рис. 8.41) является изображением равнобокой трапеции \(ABCD\) (\(BC \parallel AD\)), в которую можно вписать окружность. Постройте изображение точек касания сторон трапеции со вписанной окружностью.
Пусть вписанная в равнобокую трапецию \(ABCD\) окружность касается оснований \(BC\) и \(AD\) в точках \(M\) и \(N\), а боковых сторон \(AB\) и \(CD\) — в точках \(P\) и \(Q\).
Прямая, проходящая через середины оснований равнобокой трапеции, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции. Центр вписанной окружности равноудалён от всех сторон трапеции, и такая точка одна, поэтому при симметрии относительно оси центр \(O\) переходит в себя, то есть лежит на оси. Точка касания окружности с основанием — основание перпендикуляра, опущенного из центра на это основание, поэтому точки \(M\) и \(N\) лежат на оси симметрии, а значит, точка \(M\) — середина основания \(BC\), а точка \(N\) — середина основания \(AD\).
Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, поэтому \(AP = AN = \frac{1}{2} AD\) и \(BP = BM = \frac{1}{2} BC\). Следовательно, \(AP : PB = AD : BC\). Так же \(DQ : QC = AD : BC\).
Из теоремы 7.3 следует, что параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции, поэтому изображениями точек \(M\) и \(N\) служат середины \(M_1\) и \(N_1\) отрезков \(B_1C_1\) и \(A_1D_1\).
Отрезки \(AD\) и \(BC\) лежат на параллельных прямых, поэтому отношение длин их изображений равно отношению длин самих отрезков (теорема 7.3), то есть \(A_1D_1 : B_1C_1 = AD : BC\). Отношения \(AP : PB\) и \(DQ : QC\) — это отношения отрезков, лежащих на одной прямой, поэтому они тоже сохраняются. Значит, изображение точки \(P\) — такая точка \(P_1\) стороны \(A_1B_1\), что \(A_1P_1 : P_1B_1 = A_1D_1 : B_1C_1\), а изображение точки \(Q\) — такая точка \(Q_1\) стороны \(C_1D_1\), что \(D_1Q_1 : Q_1C_1 = A_1D_1 : B_1C_1\).
Ответ: изображения точек касания — середины \(M_1\) и \(N_1\) оснований \(B_1C_1\) и \(A_1D_1\) и такие точки \(P_1\) и \(Q_1\) боковых сторон \(A_1B_1\) и \(C_1D_1\), что \(A_1P_1 : P_1B_1 = D_1Q_1 : Q_1C_1 = A_1D_1 : B_1C_1\).
