Страница 110 номер 9.16, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
тетраэдр \(DABC\)
\(M\) — середина ребра \(AC\), \(N\) — середина ребра \(BD\)
\(BC = AD\)
угол между прямыми \(BC\) и \(AD\) равен \(30^\circ\)

Найти: угол между прямыми \(MN\) и \(BC\).

Решение: Пусть \(P\) — середина ребра \(AB\). Отрезок \(PM\) — средняя линия треугольника \(ABC\), поэтому \(PM \parallel BC\) и \(PM = \frac{1}{2}BC\). Отрезок \(PN\) — средняя линия треугольника \(ABD\), поэтому \(PN \parallel AD\) и \(PN = \frac{1}{2}AD\). Поскольку \(BC = AD\), то \(PM = PN\), то есть треугольник \(MPN\) равнобедренный.

Поскольку \(PM \parallel BC\) и \(PN \parallel AD\), то угол между пересекающимися прямыми \(PM\) и \(PN\) равен углу между прямыми \(BC\) и \(AD\), то есть \(30^\circ\). Поэтому \(\angle MPN = 30^\circ\) или \(\angle MPN = 150^\circ\). Поскольку \(PM \parallel BC\), то угол между прямыми \(MN\) и \(BC\) равен углу между пересекающимися прямыми \(MN\) и \(MP\).

Если \(\angle MPN = 30^\circ\), то углы при основании \(MN\) равнобедренного треугольника \(MPN\) равны: \(\angle PMN = \frac{180^\circ - 30^\circ}{2} = 75^\circ\). Угол \(PMN\) острый, поэтому угол между прямыми \(MN\) и \(BC\) равен \(75^\circ\).

Если \(\angle MPN = 150^\circ\), то \(\angle PMN = \frac{180^\circ - 150^\circ}{2} = 15^\circ\), и угол между прямыми \(MN\) и \(BC\) равен \(15^\circ\).

Оба случая возможны: если в том же тетраэдре поменять местами обозначения вершин \(A\) и \(D\), условие задачи сохранится, а угол \(MPN\) станет равным \(180^\circ\) минус прежний.

Ответ: \(75^\circ\) или \(15^\circ\).