Страница 110 номер 9.20, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(M\), \(N\) и \(K\) — середины соответственно рёбер \(CB\), \(B_1A_1\) и \(AC\) призмы \(ABCA_1B_1C_1\). Найдите угол между прямыми \(CB_1\) и \(BA_1\), если известно, что \(MN = BK\).
Дано:
призма \(ABCA_1B_1C_1\)
\(M\), \(N\), \(K\) — середины рёбер \(CB\), \(B_1A_1\), \(AC\)
\(MN = BK\)
Найти: угол между прямыми \(CB_1\) и \(BA_1\).
Решение: Пусть \(P\) — середина ребра \(BB_1\), \(E\) — середина отрезка \(A_1C\).
Отрезки \(MP\) и \(EN\) — средние линии треугольников \(CBB_1\) и \(A_1CB_1\), поэтому \(MP \parallel CB_1\) и \(EN \parallel CB_1\). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой: \(MP \parallel EN\), значит, точки \(M\), \(P\), \(N\), \(E\) лежат в одной плоскости. Отрезки \(PN\) и \(ME\) — средние линии треугольников \(BB_1A_1\) и \(CBA_1\), поэтому \(PN \parallel BA_1\) и \(ME \parallel BA_1\), откуда \(PN \parallel ME\). У четырёхугольника \(MPNE\) противолежащие стороны попарно параллельны, следовательно, это параллелограмм.
Отрезок \(KE\) — средняя линия треугольника \(ACA_1\), поэтому \(KE \parallel AA_1\) и \(KE = \frac{1}{2}AA_1\). Боковая грань \(AA_1B_1B\) — параллелограмм, поэтому \(BB_1 \parallel AA_1\) и \(BP = \frac{1}{2}BB_1 = \frac{1}{2}AA_1\). Значит, отрезки \(BP\) и \(KE\) параллельны (две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой) и равны, причём точки \(P\) и \(E\) лежат по одну сторону от плоскости \(ABC\). Следовательно, четырёхугольник \(BPEK\) — параллелограмм и \(PE = BK\). По условию \(MN = BK\), поэтому \(MN = PE\).
Параллелограмм \(MPNE\) с равными диагоналями — прямоугольник, поэтому \(\angle PME = 90^\circ\). Поскольку \(MP \parallel CB_1\) и \(ME \parallel BA_1\), то угол между прямыми \(CB_1\) и \(BA_1\) равен углу между пересекающимися прямыми \(MP\) и \(ME\), то есть \(90^\circ\).
Ответ: \(90^\circ\).
Точки \(M\), \(N\) и \(K\) — середины соответственно рёбер \(CB\), \(B_1A_1\) и \(AC\) призмы \(ABCA_1B_1C_1\). Найдите угол между прямыми \(CB_1\) и \(BA_1\), если известно, что \(MN = BK\).
Дано:
призма \(ABCA_1B_1C_1\)
\(M\), \(N\), \(K\) — середины рёбер \(CB\), \(B_1A_1\), \(AC\)
\(MN = BK\)
Найти: угол между прямыми \(CB_1\) и \(BA_1\).
Решение: Пусть \(P\) — середина ребра \(BB_1\), \(E\) — середина отрезка \(A_1C\).
Отрезки \(MP\) и \(EN\) — средние линии треугольников \(CBB_1\) и \(A_1CB_1\), поэтому \(MP \parallel CB_1\) и \(EN \parallel CB_1\). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой: \(MP \parallel EN\), значит, точки \(M\), \(P\), \(N\), \(E\) лежат в одной плоскости. Отрезки \(PN\) и \(ME\) — средние линии треугольников \(BB_1A_1\) и \(CBA_1\), поэтому \(PN \parallel BA_1\) и \(ME \parallel BA_1\), откуда \(PN \parallel ME\). У четырёхугольника \(MPNE\) противолежащие стороны попарно параллельны, следовательно, это параллелограмм.
Докажем, что его диагонали \(MN\) и \(PE\) равны. Отрезок \(KE\) — средняя линия треугольника \(ACA_1\), поэтому \(KE \parallel AA_1\) и \(KE = \frac{1}{2}AA_1\). Боковая грань \(AA_1B_1B\) — параллелограмм, поэтому \(BB_1 \parallel AA_1\) и \(BP = \frac{1}{2}BB_1 = \frac{1}{2}AA_1\). Значит, отрезки \(BP\) и \(KE\) параллельны (две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой) и равны, причём точки \(P\) и \(E\) лежат по одну сторону от плоскости \(ABC\). Следовательно, четырёхугольник \(BPEK\) — параллелограмм и \(PE = BK\). По условию \(MN = BK\), поэтому \(MN = PE\).
Параллелограмм \(MPNE\) с равными диагоналями — прямоугольник, поэтому \(\angle PME = 90^\circ\). Поскольку \(MP \parallel CB_1\) и \(ME \parallel BA_1\), то угол между прямыми \(CB_1\) и \(BA_1\) равен углу между пересекающимися прямыми \(MP\) и \(ME\), то есть \(90^\circ\).
Ответ: \(90^\circ\).
