Страница 96 номер 8.39, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) катеты \(BC\) и \(AC\) равны соответственно 25 см и 60 см. Найдите биссектрису \(AK\) треугольника \(ABC\).
Дано:
\(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\)
\(BC = 25\) см
\(AC = 60\) см
\(AK\) — биссектриса
Найти: \(AK\).
Решение:
По теореме Пифагора \[AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{25^2 + 60^2} = \sqrt{4225} = 65 \text{ (см)}.\]
По свойству биссектрисы треугольника \[BK : KC = AB : AC = 65 : 60 = 13 : 12.\]
Так как \(BK + KC = BC = 25\) см, отрезок \(KC\) составляет \(\frac{12}{13 + 12} = \frac{12}{25}\) часть стороны \(BC\), поэтому \[KC = 25 \cdot \frac{12}{25} = 12 \text{ (см)}.\]
Треугольник \(ACK\) прямоугольный, поэтому \[AK = \sqrt{AC^2 + KC^2} = \sqrt{60^2 + 12^2} = \sqrt{3744} = 12\sqrt{26} \text{ (см)}.\]
Ответ: \(12\sqrt{26}\) см.
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) катеты \(BC\) и \(AC\) равны соответственно 25 см и 60 см. Найдите биссектрису \(AK\) треугольника \(ABC\).
Дано:
\(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\)
\(BC = 25\) см
\(AC = 60\) см
\(AK\) — биссектриса
Найти: \(AK\).
Решение:
По теореме Пифагора \[AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{25^2 + 60^2} = \sqrt{4225} = 65 \text{ (см)}.\]
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, поэтому \[BK : KC = AB : AC = 65 : 60 = 13 : 12.\]
Точка \(K\) принадлежит стороне \(BC\), значит, \(BK + KC = BC = 25\) см. Отрезок \(KC\) составляет \(\frac{12}{13 + 12} = \frac{12}{25}\) часть стороны \(BC\), поэтому \[KC = 25 \cdot \frac{12}{25} = 12 \text{ (см)}.\]
Треугольник \(ACK\) прямоугольный (\(\angle C = 90^\circ\)), поэтому \[AK = \sqrt{AC^2 + KC^2} = \sqrt{60^2 + 12^2} = \sqrt{3744} = 12\sqrt{26} \text{ (см)}.\]
Ответ: \(12\sqrt{26}\) см.
