Страница 95 номер 8.33, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Постройте изображение куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), если на рисунке 8.44 точки \(M\) и \(N\) являются изображениями точек \(A\) и \(B\) соответственно, а точки \(O_1\) и \(F\) — изображениями середин отрезков \(BD\) и \(AC_1\) соответственно.
Точка \(M\) — изображение вершины \(A\), точка \(N\) — изображение вершины \(B\); дальше обозначаем эти точки через \(A\) и \(B\).
Пусть \(O\) — середина отрезка \(BD\); её изображение — данная точка \(O_1\). Основание \(ABCD\) куба — квадрат, а диагонали квадрата имеют общую середину, поэтому \(O\) — середина и диагонали \(AC\): вершина \(C\) симметрична вершине \(A\), а вершина \(D\) — вершине \(B\) относительно точки \(O\).
По теореме 7.3 параллельной проекцией середины отрезка является середина его проекции, поэтому на изображении продолжаем отрезок \(AO_1\) за точку \(O_1\) на его длину и получаем вершину \(C\), а продолжая так же отрезок \(BO_1\), получаем вершину \(D\).
Отрезок \(AC_1\) — диагональ куба, а \(F\) — её середина. В треугольнике \(ACC_1\) отрезок \(OF\) соединяет середины сторон \(AC\) и \(AC_1\), поэтому \(OF \parallel CC_1\) и \(CC_1 = 2\,OF\). Все боковые рёбра куба равны и параллельны, значит, каждое из них параллельно отрезку \(OF\) и вдвое длиннее его.
По теореме 7.2 параллельные проекции двух параллельных отрезков лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Изображение бокового ребра и отрезок \(O_1F\) на одной прямой лежать не могут: тогда прямой \(O_1F\) принадлежало бы изображение той вершины основания, из которой выходит это ребро, а ни одна из вершин \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) этой прямой не принадлежит. По теореме 7.3 отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых, сохраняется. Поэтому через каждую из вершин \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) проводим прямую, параллельную отрезку \(O_1F\), и откладываем на ней в направлении от \(O_1\) к \(F\) отрезок, вдвое больший отрезка \(O_1F\); концы этих отрезков — вершины \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) и \(D_1\). Остаётся соединить их.
Ответ: искомое изображение — куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), у которого вершины \(C\) и \(D\) симметричны точкам \(M\) и \(N\) относительно точки \(O_1\), а каждое боковое ребро параллельно отрезку \(O_1F\), вдвое длиннее его и направлено от \(O_1\) к \(F\).
Постройте изображение куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), если на рисунке 8.44 точки \(M\) и \(N\) являются изображениями точек \(A\) и \(B\) соответственно, а точки \(O_1\) и \(F\) — изображениями середин отрезков \(BD\) и \(AC_1\) соответственно.
Точка \(M\) — изображение вершины \(A\), точка \(N\) — изображение вершины \(B\); дальше обозначаем эти точки через \(A\) и \(B\).
Пусть \(O\) — середина отрезка \(BD\); её изображение — данная точка \(O_1\). Основание \(ABCD\) куба — квадрат, а диагонали квадрата имеют общую середину, поэтому \(O\) — середина и диагонали \(AC\). Значит, вершина \(C\) симметрична вершине \(A\) относительно точки \(O\), а вершина \(D\) симметрична вершине \(B\) относительно точки \(O\).
Из теоремы 7.3 следует, что параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции. Поэтому на изображении вершина \(C\) симметрична вершине \(A\) относительно точки \(O_1\), а вершина \(D\) — вершине \(B\) относительно точки \(O_1\): продолжаем отрезок \(AO_1\) за точку \(O_1\) на его длину и получаем вершину \(C\), а продолжая так же отрезок \(BO_1\), получаем вершину \(D\).
Отрезок \(AC_1\) — диагональ куба, а \(F\) — её середина. В треугольнике \(ACC_1\) отрезок \(OF\) соединяет середины сторон \(AC\) и \(AC_1\), поэтому \(OF \parallel CC_1\) и \(CC_1 = 2\,OF\). Все боковые рёбра куба равны и параллельны, значит, каждое из них параллельно отрезку \(OF\) и вдвое длиннее его.
По теореме 7.2 параллельные проекции двух параллельных отрезков лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Изображение бокового ребра и отрезок \(O_1F\) на одной прямой лежать не могут: тогда прямой \(O_1F\) принадлежало бы изображение той вершины основания, из которой выходит это ребро, а на данном чертеже ни одна из вершин \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) этой прямой не принадлежит. По теореме 7.3 отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых, сохраняется. Поэтому через каждую из вершин \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) проводим прямую, параллельную отрезку \(O_1F\), и откладываем на ней в направлении от \(O_1\) к \(F\) отрезок, вдвое больший отрезка \(O_1F\); концы этих отрезков — вершины \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) и \(D_1\). Остаётся соединить их.
Ответ: искомое изображение — куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), у которого вершины \(C\) и \(D\) симметричны точкам \(M\) и \(N\) относительно точки \(O_1\), а каждое боковое ребро параллельно отрезку \(O_1F\), вдвое длиннее его и направлено от \(O_1\) к \(F\).
