Страница 109 номер 9.10, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Глава 3. Перпендикулярность в пространстве. §9. Угол между прямыми в пространстве. Страница 109. Номер 9.10

Задание / условие:

Каждое ребро тетраэдра \(DABC\) равно \(a\), точки \(M\) и \(K\) — середины рёбер \(AB\) и \(CD\) соответственно (рис. 9.12). 1) Докажите, что \(MK \perp AB\) и \(MK \perp CD\). 2) Найдите отрезок \(MK\).

Рисунок 9.12:

Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(DA = DB = DC = a\)
\(AB = BC = CA = a\)
\(M\) — середина \(AB\), \(K\) — середина \(CD\)

Найти: \(MK\).

Решение:

1) Все грани тетраэдра — равносторонние треугольники со стороной \(a\).

Отрезки \(DM\) и \(CM\) — медианы равносторонних треугольников \(ABD\) и \(ABC\), поэтому \(DM = CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}\), и треугольник \(DMC\) равнобедренный с основанием \(DC\). Его медиана \(MK\), проведённая к основанию, является высотой: \(MK \perp DC\).

Отрезки \(AK\) и \(BK\) — медианы равносторонних треугольников \(ACD\) и \(BCD\), поэтому \(AK = BK = \frac{a\sqrt{3}}{2}\), и треугольник \(AKB\) равнобедренный с основанием \(AB\). Его медиана \(KM\), проведённая к основанию, является высотой: \(MK \perp AB\).

график

2) В треугольнике \(MKC\) угол \(MKC\) прямой, гипотенуза \(MC = \frac{a\sqrt{3}}{2}\), катет \(KC = \frac{a}{2}\). По теореме Пифагора \[MK = \sqrt{MC^2 - KC^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}.\]

Ответ: 1) прямая \(MK\) перпендикулярна прямым \(AB\) и \(CD\); 2) \(MK = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).