Страница 110 номер 9.19, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Основанием треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) является треугольник \(ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)). Точка \(M\) — середина ребра \(AB\). Найдите угол между прямыми \(AC_1\) и \(CB_1\), если известно, что \(AC_1 = CB_1 = AB\).
Дано:
треугольная призма \(ABCA_1B_1C_1\)
\(\angle ACB = 90^\circ\)
\(M\) — середина ребра \(AB\)
\(AC_1 = CB_1 = AB\)
Найти: угол между прямыми \(AC_1\) и \(CB_1\).
Решение: Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AB_1\) и \(A_1B\) грани \(ABB_1A_1\), \(F\) — середина ребра \(CC_1\), \(N\) — середина ребра \(C_1B_1\). Боковые грани призмы — параллелограммы, поэтому \(O\) — середина каждой из диагоналей \(AB_1\) и \(A_1B\).
Отрезок \(NF\) — средняя линия треугольника \(C_1B_1C\), поэтому \(NF \parallel CB_1\) и \(NF = \frac{1}{2}CB_1\). Отрезок \(NO\) — средняя линия треугольника \(B_1C_1A\), поэтому \(NO \parallel AC_1\) и \(NO = \frac{1}{2}AC_1\). Поскольку \(NF \parallel CB_1\) и \(NO \parallel AC_1\), то угол между прямыми \(AC_1\) и \(CB_1\) равен углу между пересекающимися прямыми \(NO\) и \(NF\).
Отрезок \(MO\) — средняя линия треугольника \(BAA_1\), поэтому \(MO \parallel AA_1\) и \(MO = \frac{1}{2}AA_1\). Боковая грань \(AA_1C_1C\) — параллелограмм, поэтому \(CC_1 \parallel AA_1\) и \(CF = \frac{1}{2}CC_1 = \frac{1}{2}AA_1\). Значит, отрезки \(MO\) и \(CF\) параллельны (две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой) и равны, причём точки \(O\) и \(F\) лежат по одну сторону от плоскости \(ABC\). Следовательно, четырёхугольник \(MOFC\) — параллелограмм и \(OF = MC\). Отрезок \(CM\) — медиана прямоугольного треугольника \(ABC\), проведённая к гипотенузе \(AB\), поэтому \(CM = \frac{1}{2}AB\).
Поскольку \(AC_1 = CB_1 = AB\), то \(NO = NF = OF = \frac{1}{2}AB\). Треугольник \(FNO\) равносторонний, поэтому \(\angle FNO = 60^\circ\). Этот угол острый, следовательно, угол между прямыми \(AC_1\) и \(CB_1\) равен \(60^\circ\).
Ответ: \(60^\circ\).
Основанием треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) является треугольник \(ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)). Точка \(M\) — середина ребра \(AB\). Найдите угол между прямыми \(AC_1\) и \(CB_1\), если известно, что \(AC_1 = CB_1 = AB\).
Дано:
треугольная призма \(ABCA_1B_1C_1\)
\(\angle ACB = 90^\circ\)
\(M\) — середина ребра \(AB\)
\(AC_1 = CB_1 = AB\)
Найти: угол между прямыми \(AC_1\) и \(CB_1\).
Решение: Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AB_1\) и \(A_1B\) грани \(ABB_1A_1\), \(F\) — середина ребра \(CC_1\), \(N\) — середина ребра \(C_1B_1\). Боковые грани призмы — параллелограммы, поэтому \(O\) — середина каждой из диагоналей \(AB_1\) и \(A_1B\).
Отрезок \(NF\) — средняя линия треугольника \(C_1B_1C\), поэтому \(NF \parallel CB_1\) и \(NF = \frac{1}{2}CB_1\). Отрезок \(NO\) — средняя линия треугольника \(B_1C_1A\), поэтому \(NO \parallel AC_1\) и \(NO = \frac{1}{2}AC_1\). Поскольку \(NF \parallel CB_1\) и \(NO \parallel AC_1\), то угол между прямыми \(AC_1\) и \(CB_1\) равен углу между пересекающимися прямыми \(NO\) и \(NF\).
Найдём \(OF\). Отрезок \(MO\) — средняя линия треугольника \(BAA_1\), поэтому \(MO \parallel AA_1\) и \(MO = \frac{1}{2}AA_1\). Боковая грань \(AA_1C_1C\) — параллелограмм, поэтому \(CC_1 \parallel AA_1\) и \(CF = \frac{1}{2}CC_1 = \frac{1}{2}AA_1\). Значит, отрезки \(MO\) и \(CF\) параллельны (две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой) и равны, причём точки \(O\) и \(F\) лежат по одну сторону от плоскости \(ABC\). Следовательно, четырёхугольник \(MOFC\) — параллелограмм и \(OF = MC\). Отрезок \(CM\) — медиана прямоугольного треугольника \(ABC\), проведённая к гипотенузе \(AB\), поэтому \(CM = \frac{1}{2}AB\).
Поскольку \(AC_1 = CB_1 = AB\), то \(NO = NF = OF = \frac{1}{2}AB\). Треугольник \(FNO\) равносторонний, поэтому \(\angle FNO = 60^\circ\). Этот угол острый, следовательно, угол между прямыми \(AC_1\) и \(CB_1\) равен \(60^\circ\).
Ответ: \(60^\circ\).
