Страница 109 номер 9.11, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(E\), \(F\), \(M\) и \(K\) — середины соответственно рёбер \(AB\), \(BC\), \(AD\) и \(BD\) тетраэдра \(DABC\) (рис. 9.13). Найдите угол между прямыми \(EF\) и \(MK\), если \(\angle BAC = \alpha\).
Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(E\), \(F\), \(M\), \(K\) — середины рёбер \(AB\), \(BC\), \(AD\), \(BD\) соответственно
\(\angle BAC = \alpha\)
Найти: угол между прямыми \(EF\) и \(MK\).
Решение:
Отрезок \(EF\) — средняя линия треугольника \(ABC\), поэтому \(EF \parallel AC\). Отрезок \(MK\) — средняя линия треугольника \(ABD\), поэтому \(MK \parallel AB\).
Поскольку \(MK \parallel AB\), то угол между прямыми \(EF\) и \(MK\) равен углу между прямыми \(EF\) и \(AB\). Эти прямые пересекаются в точке \(E\). Поскольку \(EF \parallel AC\), то \(\angle BEF = \angle BAC = \alpha\) как соответственные углы при параллельных прямых \(EF\) и \(AC\) и секущей \(AB\).
Угол между пересекающимися прямыми — тот из углов, образовавшихся при их пересечении, который не превосходит \(90^\circ\).
Если \(\alpha \leqslant 90^\circ\), то угол между прямыми \(EF\) и \(AB\), а значит, и угол между прямыми \(EF\) и \(MK\), равен \(\alpha\).
Если \(\alpha > 90^\circ\), то угол \(BEF\) тупой, а смежный с ним угол равен \(180^\circ - \alpha\); угол между прямыми \(EF\) и \(MK\) равен \(180^\circ - \alpha\).
Ответ: \(\alpha\), если \(\alpha \leqslant 90^\circ\); \(180^\circ - \alpha\), если \(\alpha > 90^\circ\).
Точки \(E\), \(F\), \(M\) и \(K\) — середины соответственно рёбер \(AB\), \(BC\), \(AD\) и \(BD\) тетраэдра \(DABC\) (рис. 9.13). Найдите угол между прямыми \(EF\) и \(MK\), если \(\angle BAC = \alpha\).
Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(E\), \(F\), \(M\), \(K\) — середины рёбер \(AB\), \(BC\), \(AD\), \(BD\) соответственно
\(\angle BAC = \alpha\)
Найти: угол между прямыми \(EF\) и \(MK\).
Решение:
Отрезок \(EF\) соединяет середины сторон \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\), то есть является его средней линией, поэтому \(EF \parallel AC\). Отрезок \(MK\) — средняя линия треугольника \(ABD\) (\(M\) и \(K\) — середины сторон \(AD\) и \(BD\)), поэтому \(MK \parallel AB\).
Поскольку \(MK \parallel AB\), то угол между прямыми \(EF\) и \(MK\) равен углу между прямыми \(EF\) и \(AB\). Эти прямые пересекаются в точке \(E\). Поскольку \(EF \parallel AC\), то \(\angle BEF = \angle BAC = \alpha\) как соответственные углы при параллельных прямых \(EF\) и \(AC\) и секущей \(AB\).
Угол между пересекающимися прямыми — тот из углов, образовавшихся при их пересечении, который не превосходит \(90^\circ\).
Если \(\alpha \leqslant 90^\circ\), то угол между прямыми \(EF\) и \(AB\), а значит, и угол между прямыми \(EF\) и \(MK\), равен \(\alpha\).
Если \(\alpha > 90^\circ\), то угол \(BEF\) тупой, а смежный с ним угол равен \(180^\circ - \alpha\); угол между прямыми \(EF\) и \(MK\) равен \(180^\circ - \alpha\).
Ответ: \(\alpha\), если \(\alpha \leqslant 90^\circ\); \(180^\circ - \alpha\), если \(\alpha > 90^\circ\).
