Страница 95 номер 8.38, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дан треугольник \(ABC\). На стороне \(AB\) отметили точки \(M\) и \(N\), на стороне \(BC\) — точки \(K\) и \(P\), а на стороне \(CA\) — точки \(F\) и \(E\) (рис. 8.46). Отрезки \(MP\), \(NF\) и \(KE\) пересекаются в одной точке и параллельны сторонам \(AB\), \(BC\) и \(CA\) соответственно. Докажите, что \[\frac{MN}{AB} + \frac{KP}{BC} + \frac{FE}{CA} = 1.\]
Как видно на рисунке, отрезок \(MP\) параллелен стороне \(CA\), отрезок \(NF\) — стороне \(BC\), а отрезок \(KE\) — стороне \(AB\).
Каждое из отношений \(\frac{MN}{AB}\), \(\frac{KP}{BC}\) и \(\frac{FE}{CA}\) — это отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, а такие отношения при параллельном проектировании сохраняются (теорема 7.3). Поэтому достаточно доказать требуемое равенство для какого-нибудь изображения данного треугольника.
Рассмотрим параллельное проектирование, при котором изображением треугольника \(ABC\) является равносторонний треугольник \(A_1B_1C_1\): равносторонний треугольник может служить параллельной проекцией треугольника любого вида. Изображения \(M_1P_1\), \(N_1F_1\) и \(K_1E_1\) данных отрезков проходят через одну точку \(X_1\) — изображение их общей точки. Изображением треугольника \(ABC\) служит треугольник, а не отрезок, поэтому по теореме 7.2 \(M_1P_1 \parallel C_1A_1\), \(N_1F_1 \parallel B_1C_1\) и \(K_1E_1 \parallel A_1B_1\).
У треугольника \(M_1N_1X_1\) сторона \(M_1N_1\) лежит на прямой \(A_1B_1\), сторона \(M_1X_1\) параллельна прямой \(C_1A_1\), а сторона \(N_1X_1\) параллельна прямой \(B_1C_1\), поэтому его углы равны углам равностороннего треугольника \(A_1B_1C_1\), то есть треугольник \(M_1N_1X_1\) равносторонний. Так же равносторонними являются треугольники \(K_1P_1X_1\) и \(F_1E_1X_1\).
Четырёхугольник \(A_1M_1X_1E_1\) — параллелограмм: прямые \(A_1M_1\) и \(E_1X_1\) параллельны (обе параллельны прямой \(A_1B_1\)), прямые \(A_1E_1\) и \(M_1X_1\) тоже параллельны (обе параллельны прямой \(C_1A_1\)). Поэтому \(A_1M_1 = E_1X_1 = F_1E_1\). Аналогично четырёхугольник \(N_1B_1K_1X_1\) — параллелограмм, поэтому \(N_1B_1 = X_1K_1 = K_1P_1\).
Точки \(M_1\) и \(N_1\) лежат на стороне \(A_1B_1\), причём \(A_1M_1 + M_1N_1 + N_1B_1 = A_1B_1\), значит, \[F_1E_1 + M_1N_1 + K_1P_1 = A_1B_1.\]
Все стороны треугольника \(A_1B_1C_1\) равны, поэтому \[\frac{M_1N_1}{A_1B_1} + \frac{K_1P_1}{B_1C_1} + \frac{F_1E_1}{C_1A_1} = \frac{M_1N_1 + K_1P_1 + F_1E_1}{A_1B_1} = 1.\]
Значит, \[\frac{MN}{AB} + \frac{KP}{BC} + \frac{FE}{CA} = 1.\]
Ответ: сумма \(\frac{MN}{AB} + \frac{KP}{BC} + \frac{FE}{CA}\) равна 1.
Дан треугольник \(ABC\). На стороне \(AB\) отметили точки \(M\) и \(N\), на стороне \(BC\) — точки \(K\) и \(P\), а на стороне \(CA\) — точки \(F\) и \(E\) (рис. 8.46). Отрезки \(MP\), \(NF\) и \(KE\) пересекаются в одной точке и параллельны сторонам \(AB\), \(BC\) и \(CA\) соответственно. Докажите, что \[\frac{MN}{AB} + \frac{KP}{BC} + \frac{FE}{CA} = 1.\]
Как видно на рисунке, отрезок \(MP\) параллелен стороне \(CA\), отрезок \(NF\) — стороне \(BC\), а отрезок \(KE\) — стороне \(AB\).
Каждое из отношений \(\frac{MN}{AB}\), \(\frac{KP}{BC}\) и \(\frac{FE}{CA}\) — это отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, а такие отношения при параллельном проектировании сохраняются (теорема 7.3). Поэтому достаточно доказать требуемое равенство для какого-нибудь изображения данного треугольника.
Рассмотрим параллельное проектирование, при котором изображением треугольника \(ABC\) является равносторонний треугольник \(A_1B_1C_1\): равносторонний треугольник может служить параллельной проекцией треугольника любого вида.
Изображения отрезков \(MP\), \(NF\) и \(KE\) — отрезки \(M_1P_1\), \(N_1F_1\) и \(K_1E_1\); они проходят через одну точку \(X_1\) — изображение общей точки данных отрезков. Изображением треугольника \(ABC\) служит треугольник, а не отрезок, поэтому по теореме 7.2 \(M_1P_1 \parallel C_1A_1\), \(N_1F_1 \parallel B_1C_1\) и \(K_1E_1 \parallel A_1B_1\).
У треугольника \(M_1N_1X_1\) сторона \(M_1N_1\) лежит на прямой \(A_1B_1\), сторона \(M_1X_1\) параллельна прямой \(C_1A_1\), а сторона \(N_1X_1\) параллельна прямой \(B_1C_1\). Поэтому углы треугольника \(M_1N_1X_1\) равны углам равностороннего треугольника \(A_1B_1C_1\), то есть треугольник \(M_1N_1X_1\) равносторонний. Так же равносторонними являются треугольники \(K_1P_1X_1\) и \(F_1E_1X_1\).
Четырёхугольник \(A_1M_1X_1E_1\) — параллелограмм: прямые \(A_1M_1\) и \(E_1X_1\) параллельны (обе параллельны прямой \(A_1B_1\)), прямые \(A_1E_1\) и \(M_1X_1\) тоже параллельны (обе параллельны прямой \(C_1A_1\)). Поэтому \(A_1M_1 = E_1X_1 = F_1E_1\).
Аналогично четырёхугольник \(N_1B_1K_1X_1\) — параллелограмм, поэтому \(N_1B_1 = X_1K_1 = K_1P_1\).
Точки \(M_1\) и \(N_1\) лежат на стороне \(A_1B_1\), причём \(A_1M_1 + M_1N_1 + N_1B_1 = A_1B_1\), значит, \[F_1E_1 + M_1N_1 + K_1P_1 = A_1B_1.\]
Все стороны треугольника \(A_1B_1C_1\) равны, поэтому \[\frac{M_1N_1}{A_1B_1} + \frac{K_1P_1}{B_1C_1} + \frac{F_1E_1}{C_1A_1} = \frac{M_1N_1 + K_1P_1 + F_1E_1}{A_1B_1} = 1.\]
Отношения отрезков, лежащих на одной прямой, при параллельном проектировании сохраняются, поэтому \[\frac{MN}{AB} + \frac{KP}{BC} + \frac{FE}{CA} = 1.\]
Ответ: сумма \(\frac{MN}{AB} + \frac{KP}{BC} + \frac{FE}{CA}\) равна 1.
