Страница 95 номер 8.35, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Даны три луча \(OA\), \(OB\) и \(OC\), а также точки \(M\), \(N\) и \(K\) (рис. 8.45). Постройте треугольник так, чтобы его вершины лежали на данных лучах, а стороны содержали точки \(M\), \(N\) и \(K\) по одной на каждой стороне.
Четырёхугольник \(OACB\) вместе с его диагоналями \(OC\) и \(AB\) будем рассматривать как изображение тетраэдра \(OABC\): по теореме Польке—Шварца изображением любого тетраэдра может служить с точностью до подобия любой четырёхугольник вместе с его диагоналями. Данные лучи при этом изображают рёбра \(OA\), \(OB\) и \(OC\) тетраэдра.
Будем считать, что точка \(M\) принадлежит грани \(AOB\), точка \(N\) — грани \(BOC\), а точка \(K\) — грани \(COA\). Тогда сечение тетраэдра плоскостью \(MNK\), пересекающее рёбра \(OA\), \(OB\) и \(OC\), — треугольник, вершины которого лежат на данных лучах, а стороны проходят через точки \(M\), \(N\) и \(K\), значит, достаточно построить это сечение.
Построим центральные проекции точек \(M\), \(N\) и \(K\) на плоскость \(ABC\) с центром проектирования в точке \(O\). Луч \(OM\) проходит внутри угла \(AOB\), поэтому пересекает сторону \(AB\); пусть \(M_1\) — точка их пересечения. Так же луч \(ON\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(N_1\), а луч \(OK\) — сторону \(CA\) в точке \(K_1\).
Точка \(M_1\) лежит на прямой \(OM\), а точка \(K_1\) — на прямой \(OK\), поэтому все четыре точки \(M\), \(K\), \(M_1\) и \(K_1\) лежат в плоскости \(OMK\): прямые \(MK\) и \(M_1K_1\) лежат в одной плоскости и не скрещиваются. На данном чертеже они не параллельны, значит, пересекаются; пусть \(X\) — их общая точка. Так же пересекаются прямые \(NK\) и \(N_1K_1\); пусть \(Y\) — их общая точка.
Точка \(X\) принадлежит прямой \(MK\), а значит, и секущей плоскости; она принадлежит прямой \(M_1K_1\), а значит, и плоскости \(ABC\). То же верно и для точки \(Y\). Секущая плоскость и плоскость \(ABC\) различны и имеют две общие точки, поэтому пересекаются по прямой, а через две точки проходит только одна прямая: прямая \(XY\) — линия их пересечения.
Пусть \(Z\) — точка пересечения прямой \(XY\) с прямой \(BC\). Точки \(Z\) и \(N\) принадлежат и секущей плоскости, и плоскости грани \(BOC\), поэтому прямая \(NZ\) — линия пересечения этих плоскостей; она пересекает рёбра \(OB\) и \(OC\) в точках \(E\) и \(F\).
Точки \(E\) и \(M\) принадлежат и секущей плоскости, и плоскости грани \(AOB\), поэтому прямая \(EM\) — линия пересечения этих плоскостей; она пересекает ребро \(OA\) в точке \(D\). Прямая \(DF\) — линия пересечения секущей плоскости с плоскостью грани \(COA\), и она проходит через точку \(K\).
Треугольник \(DEF\) — сечение тетраэдра \(OABC\) плоскостью \(MNK\): его вершины лежат на данных лучах, а стороны \(DE\), \(EF\) и \(FD\) проходят через точки \(M\), \(N\) и \(K\).
Ответ: искомый треугольник — треугольник \(DEF\), изображающий сечение тетраэдра \(OABC\) плоскостью \(MNK\).
Даны три луча \(OA\), \(OB\) и \(OC\), а также точки \(M\), \(N\) и \(K\) (рис. 8.45). Постройте треугольник так, чтобы его вершины лежали на данных лучах, а стороны содержали точки \(M\), \(N\) и \(K\) по одной на каждой стороне.
Четырёхугольник \(OACB\) вместе с его диагоналями \(OC\) и \(AB\) будем рассматривать как изображение тетраэдра \(OABC\): по теореме Польке—Шварца изображением любого тетраэдра может служить с точностью до подобия любой четырёхугольник вместе с его диагоналями. Данные лучи при этом изображают рёбра \(OA\), \(OB\) и \(OC\) тетраэдра.
Будем считать, что точка \(M\) принадлежит грани \(AOB\), точка \(N\) — грани \(BOC\), а точка \(K\) — грани \(COA\). Тогда сечение тетраэдра плоскостью \(MNK\), пересекающее рёбра \(OA\), \(OB\) и \(OC\), — треугольник, вершины которого лежат на данных лучах, а стороны проходят через точки \(M\), \(N\) и \(K\) по одной на каждой стороне. Значит, достаточно построить это сечение.
Построим центральные проекции точек \(M\), \(N\) и \(K\) на плоскость \(ABC\) с центром проектирования в точке \(O\). Точка \(M\) лежит внутри треугольника \(AOB\), поэтому луч \(OM\) проходит внутри угла \(AOB\) и пересекает сторону \(AB\); пусть \(M_1\) — точка их пересечения. Так же луч \(ON\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(N_1\), а луч \(OK\) — сторону \(CA\) в точке \(K_1\).
Точка \(M_1\) лежит на прямой \(OM\), а точка \(K_1\) — на прямой \(OK\), поэтому все четыре точки \(M\), \(K\), \(M_1\) и \(K_1\) лежат в плоскости \(OMK\): прямые \(MK\) и \(M_1K_1\) лежат в одной плоскости и не скрещиваются. На данном чертеже они не параллельны, значит, пересекаются; пусть \(X\) — их общая точка. Так же пересекаются прямые \(NK\) и \(N_1K_1\); пусть \(Y\) — их общая точка.
Точка \(X\) принадлежит прямой \(MK\), а значит, и секущей плоскости; она принадлежит прямой \(M_1K_1\), а значит, и плоскости \(ABC\). То же верно и для точки \(Y\). Секущая плоскость и плоскость \(ABC\) различны и имеют две общие точки, поэтому они пересекаются по прямой, а через две точки проходит только одна прямая. Следовательно, прямая \(XY\) — линия пересечения секущей плоскости с плоскостью \(ABC\).
Пусть \(Z\) — точка пересечения прямой \(XY\) с прямой \(BC\). Точки \(Z\) и \(N\) принадлежат и секущей плоскости, и плоскости грани \(BOC\), поэтому прямая \(NZ\) — линия пересечения этих плоскостей. Она пересекает рёбра \(OB\) и \(OC\) в точках \(E\) и \(F\).
Точки \(E\) и \(M\) принадлежат и секущей плоскости, и плоскости грани \(AOB\), поэтому прямая \(EM\) — линия пересечения этих плоскостей; она пересекает ребро \(OA\) в точке \(D\). Прямая \(DF\) — линия пересечения секущей плоскости с плоскостью грани \(COA\), и она проходит через точку \(K\).
Треугольник \(DEF\) — сечение тетраэдра \(OABC\) плоскостью \(MNK\): его вершины лежат на лучах \(OA\), \(OB\) и \(OC\), сторона \(DE\) проходит через точку \(M\), сторона \(EF\) — через точку \(N\), сторона \(FD\) — через точку \(K\).
Ответ: искомый треугольник — треугольник \(DEF\), изображающий сечение тетраэдра \(OABC\) плоскостью \(MNK\).
