Страница 93 номер 8.25, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Треугольник \(A_1B_1C_1\) является изображением прямоугольного треугольника \(ABC\), отрезок \(A_1B_1\) — изображением его гипотенузы \(AB\). Постройте изображение биссектрисы треугольника \(ABC\), проведённой из вершины \(B\), если \(\angle A = 30^\circ\).
Пусть \(BL\) — биссектриса треугольника \(ABC\), проведённая из вершины \(B\); точка \(L\) принадлежит стороне \(AC\). По свойству биссектрисы \(AL : LC = AB : BC\).
Отрезок \(AB\) — гипотенуза, значит, \(\angle C = 90^\circ\). Катет \(BC\) лежит против угла \(A\), равного \(30^\circ\), поэтому \(BC = \frac{1}{2} AB\), то есть \(AB : BC = 2 : 1\) и \(AL : LC = 2 : 1\).
Точки \(A\), \(L\) и \(C\) лежат на одной прямой, поэтому по теореме 7.3 изображением точки \(L\) служит точка \(L_1\) стороны \(A_1C_1\), для которой \(A_1L_1 : L_1C_1 = 2 : 1\), а изображением биссектрисы \(BL\) — отрезок \(B_1L_1\) (теорема 7.1).
Ответ: изображением биссектрисы, проведённой из вершины \(B\), служит отрезок \(B_1L_1\), где \(L_1\) — точка стороны \(A_1C_1\), для которой \(A_1L_1 : L_1C_1 = 2 : 1\).
Треугольник \(A_1B_1C_1\) является изображением прямоугольного треугольника \(ABC\), отрезок \(A_1B_1\) — изображением его гипотенузы \(AB\). Постройте изображение биссектрисы треугольника \(ABC\), проведённой из вершины \(B\), если \(\angle A = 30^\circ\).
Пусть \(BL\) — биссектриса треугольника \(ABC\), проведённая из вершины \(B\); точка \(L\) принадлежит стороне \(AC\). Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, поэтому \(AL : LC = AB : BC\).
Отрезок \(AB\) — гипотенуза, значит, \(\angle C = 90^\circ\). Катет \(BC\) лежит против угла \(A\), равного \(30^\circ\), поэтому \(BC = \frac{1}{2} AB\), то есть \(AB : BC = 2 : 1\). Следовательно, \(AL : LC = 2 : 1\).
Точки \(A\), \(L\) и \(C\) лежат на одной прямой, а отношение длин параллельных проекций отрезков, лежащих на одной прямой, равно отношению длин самих отрезков (теорема 7.3). Поэтому изображением точки \(L\) служит точка \(L_1\) стороны \(A_1C_1\), для которой \(A_1L_1 : L_1C_1 = 2 : 1\), а изображением биссектрисы \(BL\) — отрезок \(B_1L_1\) (теорема 7.1).
Ответ: изображением биссектрисы, проведённой из вершины \(B\), служит отрезок \(B_1L_1\), где \(L_1\) — точка стороны \(A_1C_1\), для которой \(A_1L_1 : L_1C_1 = 2 : 1\).
