Страница 120 номер 10.9, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Через центр \(O\) квадрата \(ABCD\) проведена прямая \(MO\), перпендикулярная плоскости квадрата (рис. 10.23). Найдите расстояние от точки \(M\) до вершины \(D\), если \(AD = 4\sqrt{2}\) см, \(MO = 2\) см.
Дано:
\(ABCD\) — квадрат
\(O\) — центр квадрата \(ABCD\)
\(MO \perp ABC\)
\(AD = 4\sqrt{2}\) см
\(MO = 2\) см
Найти: \(MD\).
Решение: Центр \(O\) квадрата — точка пересечения его диагоналей, она делит каждую диагональ пополам. Диагональ квадрата \(BD = AD\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 8\) (см), поэтому \(OD = \frac{BD}{2} = 4\) см.
Прямая \(OD\) лежит в плоскости квадрата, а \(MO \perp ABC\), поэтому по определению прямой, перпендикулярной плоскости, \(MO \perp OD\). Значит, треугольник \(MOD\) прямоугольный с прямым углом \(MOD\).
По теореме Пифагора \(MD = \sqrt{MO^2 + OD^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) (см).
Ответ: \(2\sqrt{5}\) см.
