Страница 110 номер 9.14, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(E\) и \(F\) — середины соответственно рёбер \(AA_1\) и \(CD\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Постройте прямую, которая проходит через точку \(D_1\), перпендикулярна прямой \(EF\) и пересекает отрезок \(EF\).
Отметим середину \(K\) отрезка \(EF\) и проведём прямую \(D_1K\).
Пусть ребро куба равно \(a\). Треугольники \(D_1A_1E\) и \(D_1DF\) прямоугольные: \(\angle D_1A_1E = \angle D_1DF = 90^\circ\) как углы квадратов \(AA_1D_1D\) и \(DD_1C_1C\). Их катеты соответственно равны: \(D_1A_1 = D_1D = a\) и \(A_1E = DF = \frac{a}{2}\). Следовательно, эти треугольники равны по двум катетам и \(D_1E = D_1F\), то есть треугольник \(ED_1F\) равнобедренный с основанием \(EF\).
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой. Поэтому прямые \(D_1K\) и \(EF\) пересекаются в точке \(K\) под прямым углом, то есть \(D_1K \perp EF\). Прямая \(D_1K\) проходит через точку \(D_1\), перпендикулярна прямой \(EF\) и пересекает отрезок \(EF\) — это искомая прямая.
Ответ: искомая прямая — \(D_1K\), где \(K\) — середина отрезка \(EF\).
Точки \(E\) и \(F\) — середины соответственно рёбер \(AA_1\) и \(CD\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Постройте прямую, которая проходит через точку \(D_1\), перпендикулярна прямой \(EF\) и пересекает отрезок \(EF\).
Отметим середину \(K\) отрезка \(EF\) и проведём прямую \(D_1K\). Докажем, что она искомая.
Пусть ребро куба равно \(a\). Треугольники \(D_1A_1E\) и \(D_1DF\) прямоугольные: \(\angle D_1A_1E = \angle D_1DF = 90^\circ\) как углы квадратов \(AA_1D_1D\) и \(DD_1C_1C\). Их катеты соответственно равны: \(D_1A_1 = D_1D = a\) и \(A_1E = DF = \frac{a}{2}\), поскольку \(E\) и \(F\) — середины рёбер \(AA_1\) и \(CD\). Следовательно, эти треугольники равны по двум катетам и \(D_1E = D_1F\), то есть треугольник \(ED_1F\) равнобедренный с основанием \(EF\).
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой. Поэтому прямые \(D_1K\) и \(EF\) пересекаются в точке \(K\) под прямым углом, то есть \(D_1K \perp EF\). Прямая \(D_1K\) проходит через точку \(D_1\), перпендикулярна прямой \(EF\) и пересекает отрезок \(EF\) — это искомая прямая.
Ответ: искомая прямая — \(D_1K\), где \(K\) — середина отрезка \(EF\).
