Страница 110 номер 9.15, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(E\), \(F\), \(M\) и \(K\) — середины соответственно рёбер \(AB\), \(AD\), \(CD\) и \(BC\) тетраэдра \(DABC\). Известно, что \(EM = FK\). Найдите угол между прямыми \(AC\) и \(BD\).
Дано:
тетраэдр \(DABC\)
\(E\), \(F\), \(M\), \(K\) — середины рёбер \(AB\), \(AD\), \(CD\), \(BC\)
\(EM = FK\)
Найти: угол между прямыми \(AC\) и \(BD\).
Решение:
Отрезок \(EF\) — средняя линия треугольника \(ABD\), поэтому \(EF \parallel BD\). Отрезок \(KM\) — средняя линия треугольника \(CBD\), поэтому \(KM \parallel BD\). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, значит, \(EF \parallel KM\) и точки \(E\), \(F\), \(M\), \(K\) лежат в одной плоскости — плоскости параллельных прямых \(EF\) и \(KM\).
Аналогично \(FM \parallel AC\) (\(FM\) — средняя линия треугольника \(ACD\)) и \(EK \parallel AC\) (\(EK\) — средняя линия треугольника \(ABC\)), поэтому \(FM \parallel EK\). У четырёхугольника \(EFMK\) противолежащие стороны попарно параллельны, следовательно, это параллелограмм. Его диагонали \(EM\) и \(FK\) равны по условию, а параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник. Значит, \(\angle FEK = 90^\circ\).
Поскольку \(EF \parallel BD\) и \(EK \parallel AC\), то угол между прямыми \(AC\) и \(BD\) равен углу между пересекающимися прямыми \(EK\) и \(EF\), то есть \(90^\circ\).
Ответ: \(90^\circ\).
