Страница 94 номер 8.32, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Постройте изображение призмы \(ABCA_1B_1C_1\), если на рисунке 8.43 точки \(M\), \(N\), \(K\), \(F\) являются изображениями середин отрезков \(BB_1\), \(CC_1\), \(AB\) и \(A_1C_1\) соответственно.
Боковая грань \(BB_1C_1C\) — параллелограмм, а \(M\) и \(N\) — середины его сторон \(BB_1\) и \(CC_1\), поэтому отрезок \(MN\) параллелен ребру \(BC\) и равен ему.
Пусть \(P\) — середина ребра \(AC\). Отрезок \(KP\) — средняя линия треугольника \(ABC\), поэтому \(KP \parallel BC\) и \(KP = \tfrac12 BC = \tfrac12 MN\), причём направления от \(K\) к \(P\) и от \(M\) к \(N\) совпадают с направлением от \(B\) к \(C\).
По теореме 7.2 параллельные проекции двух параллельных отрезков лежат на одной прямой или на параллельных прямых, а по теореме 7.3 отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых, не меняется. На одной прямой изображения отрезков \(KP\) и \(MN\) лежать не могут: тогда точка \(K\) принадлежала бы прямой \(MN\), а она ей не принадлежит. Поэтому через точку \(K\) проводим отрезок \(KP\), параллельный отрезку \(MN\), равный его половине и направленный в ту же сторону (от \(M\) к \(N\)).
Грань \(ACC_1A_1\) — параллелограмм, поэтому \(AC \parallel A_1C_1\) и \(AC = A_1C_1\). Точки \(P\) и \(F\) — середины сторон \(AC\) и \(A_1C_1\), значит, отрезки \(AP\) и \(A_1F\) параллельны и равны, то есть четырёхугольник \(APFA_1\) — параллелограмм. Отсюда \(PF \parallel AA_1\) и \(PF = AA_1\): отрезок \(PF\) равен боковому ребру призмы и параллелен ему.
Точка \(M\) — середина ребра \(BB_1\), поэтому \(BM = \tfrac12 PF\): откладываем от точки \(M\) отрезок \(MB\), параллельный отрезку \(PF\), равный его половине и направленный от \(F\) к \(P\). Так же строим вершину \(C\): \(NC = \tfrac12 PF\). Точка \(K\) — середина отрезка \(AB\), поэтому вершина \(A\) симметрична вершине \(B\) относительно точки \(K\).
Осталось через каждую из вершин \(A\), \(B\) и \(C\) провести прямую, параллельную отрезку \(PF\), и отложить на ней в направлении от \(P\) к \(F\) отрезок, равный \(PF\); концы этих отрезков — вершины \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\).
Ответ: искомое изображение — призма \(ABCA_1B_1C_1\), построенная по точке \(P\), для которой отрезок \(KP\) параллелен отрезку \(MN\), равен его половине и одинаково с ним направлен, и по боковому ребру, равному отрезку \(PF\) и параллельному ему.
Постройте изображение призмы \(ABCA_1B_1C_1\), если на рисунке 8.43 точки \(M\), \(N\), \(K\), \(F\) являются изображениями середин отрезков \(BB_1\), \(CC_1\), \(AB\) и \(A_1C_1\) соответственно.
Точки \(M\) и \(N\) — середины боковых рёбер \(BB_1\) и \(CC_1\) призмы. Боковая грань \(BB_1C_1C\) — параллелограмм, у которого \(BM = \tfrac12 BB_1\) и \(CN = \tfrac12 CC_1\), поэтому отрезок \(MN\) параллелен ребру \(BC\) и равен ему.
Пусть \(P\) — середина ребра \(AC\). Отрезок \(KP\) — средняя линия треугольника \(ABC\), поэтому \(KP \parallel BC\) и \(KP = \tfrac12 BC = \tfrac12 MN\). Направление от \(K\) к \(P\) совпадает с направлением от \(M\) к \(N\): оба совпадают с направлением от \(B\) к \(C\).
По теореме 7.2 параллельные проекции двух параллельных отрезков лежат на одной прямой или на параллельных прямых, а по теореме 7.3 отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых, не меняется. На одной прямой изображения отрезков \(KP\) и \(MN\) лежать не могут: тогда точка \(K\) принадлежала бы прямой \(MN\), а она ей не принадлежит. Поэтому изображение точки \(P\) строится так: через точку \(K\) проводим отрезок \(KP\), параллельный отрезку \(MN\), равный его половине и направленный в ту же сторону (от \(M\) к \(N\)).
Грань \(ACC_1A_1\) — параллелограмм, поэтому \(AC \parallel A_1C_1\) и \(AC = A_1C_1\). Точка \(P\) — середина стороны \(AC\), точка \(F\) — середина стороны \(A_1C_1\), значит, отрезки \(AP\) и \(A_1F\) параллельны и равны, то есть четырёхугольник \(APFA_1\) — параллелограмм. Отсюда \(PF \parallel AA_1\) и \(PF = AA_1\): отрезок \(PF\) равен боковому ребру призмы и параллелен ему.
Строим вершины призмы. Точка \(M\) — середина ребра \(BB_1\), поэтому \(BM = \tfrac12 PF\): откладываем от точки \(M\) отрезок \(MB\), параллельный отрезку \(PF\), равный его половине и направленный от \(F\) к \(P\). Так же строим вершину \(C\): \(NC = \tfrac12 PF\). Точка \(K\) — середина отрезка \(AB\), поэтому вершина \(A\) симметрична вершине \(B\) относительно точки \(K\).
Осталось через каждую из вершин \(A\), \(B\) и \(C\) провести прямую, параллельную отрезку \(PF\), и отложить на ней в направлении от \(P\) к \(F\) отрезок, равный \(PF\); концы этих отрезков — вершины \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\).
Ответ: искомое изображение — призма \(ABCA_1B_1C_1\), построенная по точке \(P\), для которой отрезок \(KP\) параллелен отрезку \(MN\), равен его половине и одинаково с ним направлен, и по боковому ребру, равному отрезку \(PF\) и параллельному ему.
