Страница 119 номер 10.4, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 10.21). Назовите грани куба, которым перпендикулярна прямая: 1) \(AA_1\); 2) \(AD\).
1) Грани куба — квадраты, поэтому \(AA_1 \perp AB\) и \(AA_1 \perp AD\). Прямые \(AB\) и \(AD\) пересекаются в точке \(A\), и по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AA_1 \perp ABC\), т. е. прямая \(AA_1\) перпендикулярна грани \(ABCD\). Аналогично \(AA_1 \perp A_1B_1\) и \(AA_1 \perp A_1D_1\), а прямые \(A_1B_1\) и \(A_1D_1\) пересекаются в точке \(A_1\), поэтому \(AA_1 \perp A_1B_1C_1\), т. е. прямая \(AA_1\) перпендикулярна грани \(A_1B_1C_1D_1\).
Другим граням прямая \(AA_1\) не перпендикулярна, ведь прямая, перпендикулярная плоскости, пересекает эту плоскость. А прямая \(AA_1\) лежит в плоскостях граней \(AA_1B_1B\) и \(AA_1D_1D\) и параллельна плоскостям граней \(BB_1C_1C\) и \(DD_1C_1C\): она параллельна прямым \(BB_1\) и \(DD_1\) этих плоскостей и не лежит в них.
2) Грани куба — квадраты, поэтому \(AD \perp AB\) и \(AD \perp AA_1\). Прямые \(AB\) и \(AA_1\) пересекаются в точке \(A\), и по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AD \perp ABB_1\), т. е. прямая \(AD\) перпендикулярна грани \(AA_1B_1B\). Аналогично \(AD \perp DC\) и \(AD \perp DD_1\), а прямые \(DC\) и \(DD_1\) пересекаются в точке \(D\), поэтому \(AD \perp DCC_1\), т. е. прямая \(AD\) перпендикулярна грани \(DD_1C_1C\).
Другим граням прямая \(AD\) не перпендикулярна: она лежит в плоскостях граней \(ABCD\) и \(AA_1D_1D\) и параллельна плоскостям граней \(A_1B_1C_1D_1\) и \(BB_1C_1C\) (параллельна прямым \(A_1D_1\) и \(BC\) этих плоскостей и не лежит в них).
Ответ: 1) прямая \(AA_1\) перпендикулярна граням \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\); 2) прямая \(AD\) перпендикулярна граням \(AA_1B_1B\) и \(DD_1C_1C\).
