Страница 96 номер 8.40, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Основания \(BC\) и \(AD\) трапеции \(ABCD\) равны соответственно 2 см и 14 см. На сторонах \(AB\) и \(CD\) отметили точки \(M\) и \(K\) так, что отрезок \(MK\) параллелен основаниям трапеции и делит трапецию на две равновеликие части. Найдите отрезок \(MK\).
Дано:
трапеция \(ABCD\), \(BC \parallel AD\)
\(BC = 2\) см, \(AD = 14\) см
\(M \in AB\), \(K \in CD\), \(MK \parallel AD\)
\(S_{BCKM} = S_{MKDA}\)
Найти: \(MK\).
Решение:
Основания трапеции не равны, поэтому прямые \(AB\) и \(CD\) пересекаются; пусть \(S\) — точка их пересечения. Так как \(BC \parallel MK \parallel AD\), треугольники \(SBC\), \(SMK\) и \(SAD\) подобны.
Пусть \(MK = x\) см и \(S_{SBC} = s\). Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответственных сторон, поэтому \[S_{SMK} = s \cdot \frac{x^2}{4}, \qquad S_{SAD} = s \cdot \frac{196}{4} = 49s.\]
Трапеция \(BCKM\) — разность треугольников \(SMK\) и \(SBC\), а трапеция \(ABCD\) — разность треугольников \(SAD\) и \(SBC\): \[S_{BCKM} = s \cdot \frac{x^2}{4} - s = \frac{s (x^2 - 4)}{4}, \qquad S_{ABCD} = 49s - s = 48s.\]
Отрезок \(MK\) делит трапецию на две равновеликие части, поэтому \(S_{BCKM} = \frac{1}{2} S_{ABCD}\): \[\frac{s (x^2 - 4)}{4} = 24s.\]
Отсюда \(x^2 - 4 = 96\), то есть \(x^2 = 100\) и \(x = 10\) (длина положительна).
Ответ: \(10\) см.
Основания \(BC\) и \(AD\) трапеции \(ABCD\) равны соответственно 2 см и 14 см. На сторонах \(AB\) и \(CD\) отметили точки \(M\) и \(K\) так, что отрезок \(MK\) параллелен основаниям трапеции и делит трапецию на две равновеликие части. Найдите отрезок \(MK\).
Дано:
трапеция \(ABCD\), \(BC \parallel AD\)
\(BC = 2\) см, \(AD = 14\) см
\(M \in AB\), \(K \in CD\), \(MK \parallel AD\)
\(S_{BCKM} = S_{MKDA}\)
Найти: \(MK\).
Решение:
Основания трапеции не равны, поэтому прямые \(AB\) и \(CD\) пересекаются; пусть \(S\) — точка их пересечения. Так как \(BC \parallel MK \parallel AD\), треугольники \(SBC\), \(SMK\) и \(SAD\) подобны, причём коэффициенты подобия равны отношениям \(BC : MK : AD\).
Пусть \(MK = x\) см. Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответственных сторон, поэтому, обозначив \(S_{SBC} = s\), получаем \[S_{SMK} = s \cdot \frac{x^2}{4}, \qquad S_{SAD} = s \cdot \frac{196}{4} = 49s.\]
Трапеция \(BCKM\) — разность треугольников \(SMK\) и \(SBC\), а трапеция \(ABCD\) — разность треугольников \(SAD\) и \(SBC\): \[S_{BCKM} = s \cdot \frac{x^2}{4} - s = \frac{s (x^2 - 4)}{4}, \qquad S_{ABCD} = 49s - s = 48s.\]
Отрезок \(MK\) делит трапецию на две равновеликие части, поэтому \(S_{BCKM} = \frac{1}{2} S_{ABCD}\): \[\frac{s (x^2 - 4)}{4} = 24s.\]
Отсюда \(x^2 - 4 = 96\), то есть \(x^2 = 100\) и \(x = 10\) (длина положительна).
Ответ: \(10\) см.
