Страница 94 номер 8.31, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Четырёхугольник \(A_1B_1C_1D_1\) (рис. 8.42) является изображением прямоугольной трапеции \(ABCD\) (\(BC \parallel AD\), \(AB \perp AD\)), точка \(O_1\) — изображение центра окружности, вписанной в эту трапецию. Постройте изображение точек касания сторон трапеции с вписанной окружностью.
Пусть \(O\) — центр вписанной окружности, \(r\) — её радиус, а \(H\), \(G\), \(P\) и \(Q\) — точки касания окружности со сторонами \(AD\), \(BC\), \(AB\) и \(CD\) соответственно.
Радиусы \(OH\) и \(OG\) перпендикулярны основаниям \(AD\) и \(BC\). Поскольку \(AD \parallel BC\), точки \(H\), \(O\) и \(G\) лежат на одной прямой, а так как \(AB \perp AD\), эта прямая параллельна стороне \(AB\).
Радиус \(OP\) перпендикулярен стороне \(AB\), поэтому \(OP \parallel AD\). В четырёхугольнике \(APOH\) углы при вершинах \(A\), \(P\) и \(H\) прямые, значит, он прямоугольник и \(AP = OH = r\). Расстояние между основаниями трапеции равно \(AB\) и равно \(2r\), поэтому \(AB = 2r\), то есть \(AP = \tfrac12 AB\) и \(P\) — середина стороны \(AB\).
Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, поэтому \(DQ = DH\) и \(CQ = CG\), значит, \(DQ : QC = DH : CG\), причём отрезки \(DH\) и \(CG\) лежат на параллельных прямых \(AD\) и \(BC\).
По теореме 7.2 параллельными проекциями двух параллельных прямых являются или одна прямая, или две параллельные прямые. Слиться в одну прямую проекции не могут: изображением трапеции \(ABCD\) служит четырёхугольник \(A_1B_1C_1D_1\), а если бы прямая, задающая направление проектирования, была параллельна плоскости \(ABCD\) или лежала в ней, изображением трапеции был бы отрезок. Поэтому изображение прямой \(HG\) — прямая, проходящая через точку \(O_1\) параллельно стороне \(A_1B_1\); она пересекает стороны \(A_1D_1\) и \(B_1C_1\) в искомых точках \(H_1\) и \(G_1\).
По теореме 7.3 параллельной проекцией середины отрезка является середина его проекции, поэтому изображение точки \(P\) — середина \(P_1\) стороны \(A_1B_1\).
По теореме 7.3 отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых, сохраняется, поэтому \(D_1H_1 : C_1G_1 = DH : CG\). Отношение \(DQ : QC\) — отношение отрезков одной прямой, поэтому \(D_1Q_1 : Q_1C_1 = DQ : QC = D_1H_1 : C_1G_1\): точка \(Q_1\) делит сторону \(C_1D_1\) в отношении \(D_1H_1 : C_1G_1\), считая от вершины \(D_1\).
Ответ: искомые изображения точек касания — точки \(H_1\) и \(G_1\), в которых прямая, проведённая через точку \(O_1\) параллельно стороне \(A_1B_1\), пересекает стороны \(A_1D_1\) и \(B_1C_1\); середина \(P_1\) стороны \(A_1B_1\); точка \(Q_1\) стороны \(C_1D_1\), для которой \(D_1Q_1 : Q_1C_1 = D_1H_1 : C_1G_1\).
Четырёхугольник \(A_1B_1C_1D_1\) (рис. 8.42) является изображением прямоугольной трапеции \(ABCD\) (\(BC \parallel AD\), \(AB \perp AD\)), точка \(O_1\) — изображение центра окружности, вписанной в эту трапецию. Постройте изображение точек касания сторон трапеции с вписанной окружностью.
Пусть \(O\) — центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию \(ABCD\), \(r\) — радиус этой окружности, а \(H\), \(G\), \(P\) и \(Q\) — точки касания окружности со сторонами \(AD\), \(BC\), \(AB\) и \(CD\) соответственно.
Радиусы \(OH\) и \(OG\), проведённые в точки касания, перпендикулярны основаниям \(AD\) и \(BC\). Поскольку \(AD \parallel BC\), точки \(H\), \(O\) и \(G\) лежат на одной прямой, а так как \(AB \perp AD\), эта прямая параллельна боковой стороне \(AB\).
Радиус \(OP\) перпендикулярен стороне \(AB\), поэтому \(OP \parallel AD\). В четырёхугольнике \(APOH\) углы при вершинах \(A\), \(P\) и \(H\) прямые, значит, он прямоугольник и \(AP = OH = r\). Расстояние между основаниями трапеции равно \(AB\) и равно \(2r\), поэтому \(AB = 2r\), то есть \(AP = \tfrac12 AB\) и \(P\) — середина стороны \(AB\).
Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, поэтому \(DQ = DH\) и \(CQ = CG\). Значит, \(DQ : QC = DH : CG\), причём отрезки \(DH\) и \(CG\) лежат на параллельных прямых \(AD\) и \(BC\).
Перенесём эти свойства на изображение. По теореме 7.2 параллельными проекциями двух параллельных прямых являются или одна прямая, или две параллельные прямые. Слиться в одну прямую проекции не могут: изображением трапеции \(ABCD\) служит четырёхугольник \(A_1B_1C_1D_1\), а если бы прямая, задающая направление проектирования, была параллельна плоскости \(ABCD\) или лежала в ней, изображением трапеции был бы отрезок. Поэтому изображением прямой \(HG\) служит прямая, проходящая через точку \(O_1\) параллельно стороне \(A_1B_1\): она пересекает стороны \(A_1D_1\) и \(B_1C_1\) в искомых точках \(H_1\) и \(G_1\).
Из теоремы 7.3 следует, что параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции. Поэтому изображением точки \(P\) является середина \(P_1\) стороны \(A_1B_1\).
По теореме 7.3 отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых, при параллельном проектировании сохраняется, поэтому \(D_1H_1 : C_1G_1 = DH : CG\). Отношение \(DQ : QC\) — это отношение отрезков одной прямой, поэтому \(D_1Q_1 : Q_1C_1 = DQ : QC = D_1H_1 : C_1G_1\). Значит, точка \(Q_1\) делит сторону \(C_1D_1\) в отношении \(D_1H_1 : C_1G_1\), считая от вершины \(D_1\).
Ответ: искомые изображения точек касания — точки \(H_1\) и \(G_1\), в которых прямая, проведённая через точку \(O_1\) параллельно стороне \(A_1B_1\), пересекает стороны \(A_1D_1\) и \(B_1C_1\); середина \(P_1\) стороны \(A_1B_1\); точка \(Q_1\) стороны \(C_1D_1\), для которой \(D_1Q_1 : Q_1C_1 = D_1H_1 : C_1G_1\).
