Страница 94 номер 8.28, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Параллелограмм \(A_1B_1C_1D_1\) (рис. 8.39) является изображением квадрата \(ABCD\), точка \(M_1\) — изображением точки \(M\), принадлежащей стороне \(AB\). Постройте изображение точки \(N\), принадлежащей стороне \(BC\), такой, что \(AN \perp DM\).
Пусть \(N\) — точка стороны \(BC\) квадрата \(ABCD\), для которой \(AN \perp DM\), а точка \(P\) — точка пересечения отрезков \(AN\) и \(DM\).
В треугольнике \(AMP\) угол \(P\) прямой, поэтому \(\angle MAP + \angle AMP = 90^\circ\). В треугольнике \(ADM\) прямым является угол \(A\), поэтому \(\angle ADM + \angle AMD = 90^\circ\). Точка \(P\) лежит на отрезке \(MD\), поэтому углы \(AMP\) и \(AMD\) совпадают, а значит, \(\angle MAP = \angle ADM\). Луч \(AM\) совпадает с лучом \(AB\), а луч \(AP\) — с лучом \(AN\), поэтому \(\angle BAN = \angle ADM\).
Прямоугольные треугольники \(ABN\) и \(DAM\) равны по катету и прилежащему острому углу: \(AB = DA\) как стороны квадрата и \(\angle BAN = \angle ADM\). Следовательно, \(BN = AM\), а тогда и \(NC = BC - BN = AB - AM = MB\). Поэтому \(AM : MB = BN : NC\).
Точки \(A\), \(M\) и \(B\) лежат на одной прямой, точки \(B\), \(N\) и \(C\) — тоже, поэтому по теореме 7.3 \(A_1M_1 : M_1B_1 = AM : MB\) и \(B_1N_1 : N_1C_1 = BN : NC\), откуда \(B_1N_1 : N_1C_1 = A_1M_1 : M_1B_1\).
Ответ: изображением точки \(N\) служит точка \(N_1\) стороны \(B_1C_1\), для которой \(B_1N_1 : N_1C_1 = A_1M_1 : M_1B_1\).
Параллелограмм \(A_1B_1C_1D_1\) (рис. 8.39) является изображением квадрата \(ABCD\), точка \(M_1\) — изображением точки \(M\), принадлежащей стороне \(AB\). Постройте изображение точки \(N\), принадлежащей стороне \(BC\), такой, что \(AN \perp DM\).
Пусть \(N\) — точка стороны \(BC\) квадрата \(ABCD\), для которой \(AN \perp DM\). Отрезок \(DM\) разбивает квадрат на треугольник \(ADM\) и четырёхугольник \(MBCD\): вершина \(A\) принадлежит первому из них, а точка \(N\) стороны \(BC\) — второму, поэтому отрезки \(AN\) и \(DM\) пересекаются. Обозначим точку их пересечения через \(P\).
В треугольнике \(AMP\) угол \(P\) прямой, поэтому \(\angle MAP + \angle AMP = 90^\circ\). В треугольнике \(ADM\) прямым является угол \(A\), поэтому \(\angle ADM + \angle AMD = 90^\circ\). Точка \(P\) лежит на отрезке \(MD\), поэтому углы \(AMP\) и \(AMD\) совпадают, а значит, \(\angle MAP = \angle ADM\). Луч \(AM\) совпадает с лучом \(AB\), а луч \(AP\) — с лучом \(AN\), поэтому \(\angle BAN = \angle ADM\).
Прямоугольные треугольники \(ABN\) и \(DAM\) равны по катету и прилежащему острому углу: \(AB = DA\) как стороны квадрата и \(\angle BAN = \angle ADM\). Следовательно, \(BN = AM\), а тогда и \(NC = BC - BN = AB - AM = MB\). Поэтому \(AM : MB = BN : NC\).
Точки \(A\), \(M\) и \(B\) лежат на одной прямой, точки \(B\), \(N\) и \(C\) — тоже, а отношение длин параллельных проекций отрезков, лежащих на одной прямой, равно отношению длин самих отрезков (теорема 7.3). Поэтому \(A_1M_1 : M_1B_1 = AM : MB\) и \(B_1N_1 : N_1C_1 = BN : NC\), откуда \(B_1N_1 : N_1C_1 = A_1M_1 : M_1B_1\).
Значит, искомая точка \(N_1\) делит сторону \(B_1C_1\), считая от вершины \(B_1\), в том же отношении, в каком точка \(M_1\) делит сторону \(A_1B_1\), считая от вершины \(A_1\).
Ответ: изображением точки \(N\) служит точка \(N_1\) стороны \(B_1C_1\), для которой \(B_1N_1 : N_1C_1 = A_1M_1 : M_1B_1\).
