Страница 108 номер 9.2, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 9.8). Найдите угол между прямыми: 1) \(CD\) и \(BC\); 2) \(AA_1\) и \(C_1D_1\); 3) \(AA_1\) и \(D_1C\); 4) \(AC\) и \(B_1D_1\); 5) \(A_1C_1\) и \(AC\).
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
Найти: угол между прямыми: 1) \(CD\) и \(BC\); 2) \(AA_1\) и \(C_1D_1\); 3) \(AA_1\) и \(D_1C\); 4) \(AC\) и \(B_1D_1\); 5) \(A_1C_1\) и \(AC\).
Решение:
Все грани куба — равные квадраты.
1) Прямые \(CD\) и \(BC\) пересекаются в точке \(C\), и \(\angle BCD = 90^\circ\) как угол квадрата \(ABCD\). Угол между прямыми \(CD\) и \(BC\) равен \(90^\circ\).
2) Рёбра \(AA_1\) и \(DD_1\) параллельны как противолежащие стороны квадрата \(AA_1D_1D\), поэтому угол между прямыми \(AA_1\) и \(C_1D_1\) равен углу между прямыми \(DD_1\) и \(C_1D_1\). Эти прямые пересекаются в точке \(D_1\), и \(\angle DD_1C_1 = 90^\circ\) как угол квадрата \(DD_1C_1C\). Угол между прямыми \(AA_1\) и \(C_1D_1\) равен \(90^\circ\).
3) Поскольку \(AA_1 \parallel DD_1\), то угол между прямыми \(AA_1\) и \(D_1C\) равен углу между прямыми \(DD_1\) и \(D_1C\), то есть углу \(DD_1C\). Диагональ квадрата является биссектрисой его угла, поэтому \(\angle DD_1C = 45^\circ\). Угол между прямыми \(AA_1\) и \(D_1C\) равен \(45^\circ\).
4) Рёбра \(BB_1\) и \(DD_1\) параллельны: каждое из них параллельно ребру \(AA_1\) (противолежащие стороны квадратов \(AA_1B_1B\) и \(AA_1D_1D\)), а две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой. Поэтому точки \(B\), \(B_1\), \(D_1\), \(D\) лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) по параллельным прямым \(BD\) и \(B_1D_1\).
Поскольку \(B_1D_1 \parallel BD\), то угол между прямыми \(AC\) и \(B_1D_1\) равен углу между прямыми \(AC\) и \(BD\). Диагонали квадрата \(ABCD\) перпендикулярны, поэтому угол между прямыми \(AC\) и \(B_1D_1\) равен \(90^\circ\).
5) Рёбра \(AA_1\) и \(CC_1\) параллельны: каждое из них параллельно ребру \(BB_1\), а две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой. Поэтому точки \(A\), \(A_1\), \(C_1\), \(C\) лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) по параллельным прямым \(AC\) и \(A_1C_1\). Угол между параллельными прямыми считают равным \(0^\circ\), поэтому угол между прямыми \(A_1C_1\) и \(AC\) равен \(0^\circ\).
Ответ: 1) угол между прямыми \(CD\) и \(BC\) равен \(90^\circ\); 2) между \(AA_1\) и \(C_1D_1\) — \(90^\circ\); 3) между \(AA_1\) и \(D_1C\) — \(45^\circ\); 4) между \(AC\) и \(B_1D_1\) — \(90^\circ\); 5) между \(A_1C_1\) и \(AC\) — \(0^\circ\).
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 9.8). Найдите угол между прямыми: 1) \(CD\) и \(BC\); 2) \(AA_1\) и \(C_1D_1\); 3) \(AA_1\) и \(D_1C\); 4) \(AC\) и \(B_1D_1\); 5) \(A_1C_1\) и \(AC\).
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
Найти: угол между прямыми: 1) \(CD\) и \(BC\); 2) \(AA_1\) и \(C_1D_1\); 3) \(AA_1\) и \(D_1C\); 4) \(AC\) и \(B_1D_1\); 5) \(A_1C_1\) и \(AC\).
Решение:
Все грани куба — равные квадраты.
1) Прямые \(CD\) и \(BC\) пересекаются в точке \(C\), и \(\angle BCD = 90^\circ\) как угол квадрата \(ABCD\). Угол между прямыми \(CD\) и \(BC\) равен \(90^\circ\).
2) Рёбра \(AA_1\) и \(DD_1\) параллельны как противолежащие стороны квадрата \(AA_1D_1D\). Поскольку \(AA_1 \parallel DD_1\), то угол между прямыми \(AA_1\) и \(C_1D_1\) равен углу между прямыми \(DD_1\) и \(C_1D_1\). Эти прямые пересекаются в точке \(D_1\), и \(\angle DD_1C_1 = 90^\circ\) как угол квадрата \(DD_1C_1C\). Угол между прямыми \(AA_1\) и \(C_1D_1\) равен \(90^\circ\).
3) Поскольку \(AA_1 \parallel DD_1\), то угол между прямыми \(AA_1\) и \(D_1C\) равен углу между прямыми \(DD_1\) и \(D_1C\), то есть углу \(DD_1C\). Диагональ квадрата является биссектрисой его угла, поэтому \(\angle DD_1C = 45^\circ\). Угол между прямыми \(AA_1\) и \(D_1C\) равен \(45^\circ\).
4) Рёбра \(BB_1\) и \(DD_1\) параллельны: каждое из них параллельно ребру \(AA_1\) (противолежащие стороны квадратов \(AA_1B_1B\) и \(AA_1D_1D\)), а две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой. Поэтому точки \(B\), \(B_1\), \(D_1\), \(D\) лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) по параллельным прямым \(BD\) и \(B_1D_1\).
Поскольку \(B_1D_1 \parallel BD\), то угол между прямыми \(AC\) и \(B_1D_1\) равен углу между прямыми \(AC\) и \(BD\). Диагонали квадрата \(ABCD\) перпендикулярны, поэтому этот угол равен \(90^\circ\). Угол между прямыми \(AC\) и \(B_1D_1\) равен \(90^\circ\).
5) Рёбра \(AA_1\) и \(CC_1\) параллельны: каждое из них параллельно ребру \(BB_1\), а две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой. Поэтому точки \(A\), \(A_1\), \(C_1\), \(C\) лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) по параллельным прямым \(AC\) и \(A_1C_1\). Угол между параллельными прямыми считают равным \(0^\circ\), поэтому угол между прямыми \(A_1C_1\) и \(AC\) равен \(0^\circ\).
Ответ: 1) угол между прямыми \(CD\) и \(BC\) равен \(90^\circ\); 2) между \(AA_1\) и \(C_1D_1\) — \(90^\circ\); 3) между \(AA_1\) и \(D_1C\) — \(45^\circ\); 4) между \(AC\) и \(B_1D_1\) — \(90^\circ\); 5) между \(A_1C_1\) и \(AC\) — \(0^\circ\).
