Страница 95 номер 8.37, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
В треугольник \(ABC\) вписан параллелограмм \(ADKF\) так, что точки \(D\), \(K\) и \(F\) принадлежат сторонам \(AB\), \(BC\) и \(CA\) соответственно. Медиана \(AM\) треугольника \(ABC\) пересекает отрезок \(DK\) в точке \(N\). Докажите, что \(DN = FC\).
Четырёхугольник \(ADKF\) — параллелограмм, поэтому \(DK \parallel AF\). Точка \(F\) принадлежит стороне \(CA\), значит, отрезок \(FC\) лежит на прямой \(CA\), а отрезок \(DN\) — на параллельной ей прямой. По теореме 7.3 отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых, при параллельном проектировании сохраняется, поэтому достаточно доказать равенство этих отрезков для какого-нибудь изображения данной конфигурации.
Возьмём плоскость \(\beta\), проходящую через прямую \(AB\) и отличную от плоскости \(ABC\), построим в ней равнобедренный прямоугольный треугольник \(A_1B_1C_1\) с прямым углом при вершине \(A_1\), у которого \(A_1 = A\) и \(B_1 = B\), и рассмотрим параллельное проектирование плоскости \(ABC\) на плоскость \(\beta\) в направлении прямой \(CC_1\). Изображением треугольника \(ABC\) является треугольник \(A_1B_1C_1\).
Изображением параллелограмма является параллелограмм, поэтому изображение параллелограмма \(ADKF\) — параллелограмм \(A_1D_1K_1F_1\) с вершинами на сторонах \(A_1B_1\), \(B_1C_1\) и \(C_1A_1\). Медианы изображаются медианами, поэтому изображение медианы \(AM\) — медиана \(A_1M_1\). Точка \(N\) принадлежит отрезкам \(AM\) и \(DK\), поэтому её изображение \(N_1\) принадлежит отрезкам \(A_1M_1\) и \(D_1K_1\).
Так как \(\angle B_1A_1C_1 = 90^\circ\), параллелограмм \(A_1D_1K_1F_1\) — прямоугольник, поэтому \(D_1K_1 \perp A_1B_1\).
Треугольник \(A_1B_1C_1\) равнобедренный, поэтому его медиана \(A_1M_1\) является и биссектрисой, значит, \(\angle D_1A_1N_1 = 45^\circ\). В прямоугольном треугольнике \(A_1D_1N_1\) острый угол равен \(45^\circ\), поэтому он равнобедренный и \(D_1N_1 = A_1D_1\).
Углы при основании \(B_1C_1\) равны \(45^\circ\), поэтому прямоугольный треугольник \(D_1B_1K_1\) равнобедренный и \(D_1K_1 = D_1B_1\). Противолежащие стороны прямоугольника равны, то есть \(A_1F_1 = D_1K_1 = D_1B_1\), откуда \[F_1C_1 = A_1C_1 - A_1F_1 = A_1B_1 - D_1B_1 = A_1D_1.\]
Значит, \(D_1N_1 = A_1D_1 = F_1C_1\). Отрезки \(DN\) и \(FC\) лежат на параллельных прямых, поэтому \(DN : FC = D_1N_1 : F_1C_1 = 1\), то есть \(DN = FC\).
Ответ: отрезки \(DN\) и \(FC\) равны.
В треугольник \(ABC\) вписан параллелограмм \(ADKF\) так, что точки \(D\), \(K\) и \(F\) принадлежат сторонам \(AB\), \(BC\) и \(CA\) соответственно. Медиана \(AM\) треугольника \(ABC\) пересекает отрезок \(DK\) в точке \(N\). Докажите, что \(DN = FC\).
Четырёхугольник \(ADKF\) — параллелограмм, поэтому \(DK \parallel AF\). Точка \(F\) принадлежит стороне \(CA\), значит, отрезок \(FC\) лежит на прямой \(CA\), а отрезок \(DN\) — на параллельной ей прямой. По теореме 7.3 отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых, при параллельном проектировании сохраняется, поэтому достаточно доказать равенство этих отрезков для какого-нибудь изображения данной конфигурации.
Возьмём плоскость \(\beta\), проходящую через прямую \(AB\) и отличную от плоскости \(ABC\), построим в ней равнобедренный прямоугольный треугольник \(A_1B_1C_1\) с прямым углом при вершине \(A_1\), у которого \(A_1 = A\) и \(B_1 = B\), и рассмотрим параллельное проектирование плоскости \(ABC\) на плоскость \(\beta\) в направлении прямой \(CC_1\). Изображением треугольника \(ABC\) является треугольник \(A_1B_1C_1\).
Изображением параллелограмма является параллелограмм, поэтому изображение параллелограмма \(ADKF\) — параллелограмм \(A_1D_1K_1F_1\), вершины которого лежат на сторонах \(A_1B_1\), \(B_1C_1\) и \(C_1A_1\). Медианы данного треугольника изображаются медианами его изображения, поэтому изображение медианы \(AM\) — медиана \(A_1M_1\). Точка \(N\) принадлежит отрезкам \(AM\) и \(DK\), поэтому её изображение \(N_1\) принадлежит отрезкам \(A_1M_1\) и \(D_1K_1\).
Так как \(\angle B_1A_1C_1 = 90^\circ\), параллелограмм \(A_1D_1K_1F_1\) — прямоугольник, поэтому \(D_1K_1 \perp A_1B_1\).
Треугольник \(A_1B_1C_1\) равнобедренный, поэтому его медиана \(A_1M_1\) является и биссектрисой, значит, \(\angle D_1A_1N_1 = 45^\circ\). В прямоугольном треугольнике \(A_1D_1N_1\) острый угол равен \(45^\circ\), поэтому он равнобедренный и \(D_1N_1 = A_1D_1\).
Углы при основании \(B_1C_1\) равны \(45^\circ\), поэтому в прямоугольном треугольнике \(D_1B_1K_1\) угол \(D_1B_1K_1\) равен \(45^\circ\) и \(D_1K_1 = D_1B_1\). Противолежащие стороны прямоугольника равны, то есть \(A_1F_1 = D_1K_1 = D_1B_1\), откуда \[F_1C_1 = A_1C_1 - A_1F_1 = A_1B_1 - D_1B_1 = A_1D_1.\]
Значит, \(D_1N_1 = A_1D_1 = F_1C_1\).
Отрезки \(DN\) и \(FC\) лежат на параллельных прямых, поэтому \(DN : FC = D_1N_1 : F_1C_1 = 1\), то есть \(DN = FC\).
Ответ: отрезки \(DN\) и \(FC\) равны.
