Страница 119 номер 10.2, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Прямая \(m\) перпендикулярна прямым \(a\) и \(b\) плоскости \(\alpha\). Следует ли из этого, что прямая \(m\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\)?
Если бы прямые \(a\) и \(b\) пересекались, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая \(m\) была бы перпендикулярна плоскости \(\alpha\). Но прямые \(a\) и \(b\) могут быть параллельными, и тогда прямая \(m\) может оказаться не перпендикулярной плоскости \(\alpha\).
Пусть \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб, плоскость \(\alpha\) — плоскость \(ABC\), прямые \(a\) и \(b\) — параллельные прямые \(DC\) и \(AB\), прямая \(m\) — прямая \(A_1D\).
Поскольку \(DC \perp DA\) и \(DC \perp DD_1\) (грани куба — квадраты), а прямые \(DA\) и \(DD_1\) пересекаются в точке \(D\), то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(DC \perp ADD_1\). Прямая \(A_1D\) лежит в плоскости \(ADD_1\), следовательно, \(DC \perp A_1D\). Так как \(AB \parallel DC\), то по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости, \(AB \perp ADD_1\), а значит, и \(AB \perp A_1D\).
Прямая \(A_1D\) не перпендикулярна плоскости \(ABC\): она не перпендикулярна прямой \(DA\) этой плоскости, ведь в прямоугольном треугольнике \(A_1AD\) катеты \(AA_1\) и \(AD\) равны и \(\angle A_1DA = 45^\circ\).
Значит, прямая \(A_1D\) перпендикулярна прямым \(DC\) и \(AB\) плоскости \(ABC\), но не перпендикулярна этой плоскости.
Ответ: не следует: если прямые \(a\) и \(b\) параллельны, прямая \(m\) может быть не перпендикулярна плоскости \(\alpha\); если же прямые \(a\) и \(b\) пересекаются, то \(m \perp \alpha\).
